Номер 30.23, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.23, страница 117.

30.23 a) $y = 7 \cos x - 5 \sin 3x - 22x$ убывает на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = 3 \cos 7x - 8 \sin \frac{x}{2} - 25x + 1$ убывает на $(-\infty; +\infty)$.

Для доказательства того, что функция убывает на указанном промежутке, необходимо найти ее производную и показать, что она неположительна ($y' \le 0$) для всех значений $x$ из этого промежутка, причем равенство нулю достигается лишь в отдельных точках, а не на каком-либо интервале.

а) $y = 7\cos x - 5\sin 3x - 22x$ убывает на $(-\infty; +\infty)$

1. Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y' = (7\cos x - 5\sin 3x - 22x)'$

Используя правила дифференцирования, получаем:

$y' = 7 \cdot (-\sin x) - 5 \cdot (\cos 3x) \cdot (3x)' - 22$

$y' = -7\sin x - 15\cos 3x - 22$

2. Оценим знак производной. Область значений синуса и косинуса — отрезок $[-1, 1]$. То есть:

$-1 \le \sin x \le 1$

$-1 \le \cos 3x \le 1$

Используем эти неравенства для оценки выражения $-7\sin x - 15\cos 3x$. Максимальное значение этого выражения достигается, когда $\sin x$ и $\cos 3x$ принимают значения, делающие слагаемые $-7\sin x$ и $-15\cos 3x$ максимальными. Максимальное значение $-7\sin x$ равно $7$ (при $\sin x = -1$), а максимальное значение $-15\cos 3x$ равно $15$ (при $\cos 3x = -1$).

Таким образом, для любого $x$ справедливо неравенство:

$-7\sin x - 15\cos 3x \le |-7\sin x| + |-15\cos 3x| \le 7|\sin x| + 15|\cos 3x| \le 7 \cdot 1 + 15 \cdot 1 = 22$

3. Подставим эту оценку в выражение для производной:

$y' = (-7\sin x - 15\cos 3x) - 22 \le 22 - 22 = 0$

Мы получили, что $y' \le 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

4. Проверим, может ли производная равняться нулю. Равенство $y' = 0$ возможно только в случае, когда выражение $-7\sin x - 15\cos 3x$ достигает своего максимума, равного 22. Это происходит только при одновременном выполнении условий:

$\begin{cases} -7\sin x = 7 \\ -15\cos 3x = 15 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x = -1 \\ \cos 3x = -1 \end{cases}$

Из первого уравнения $\sin x = -1$ следует, что $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, выполняется ли второе условие для этих значений $x$:

$\cos(3x) = \cos(3(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \cos(-\frac{3\pi}{2} + 6\pi k) = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

Поскольку $0 \ne -1$, второе условие не выполняется. Следовательно, система не имеет решений, и производная $y'$ никогда не равна нулю.

Таким образом, $y' < 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, что доказывает, что функция строго убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Утверждение доказано.

б) $y = 3\cos 7x - 8\sin\frac{x}{2} - 25x + 1$ убывает на $(-\infty; +\infty)$

1. Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y' = (3\cos 7x - 8\sin\frac{x}{2} - 25x + 1)'$

Применяя правила дифференцирования:

$y' = 3(-\sin 7x) \cdot (7x)' - 8(\cos\frac{x}{2}) \cdot (\frac{x}{2})' - 25 + 0$

$y' = -21\sin 7x - 8 \cdot \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} - 25$

$y' = -21\sin 7x - 4\cos\frac{x}{2} - 25$

2. Оценим знак производной, используя ограниченность синуса и косинуса:

$-1 \le \sin 7x \le 1$

$-1 \le \cos\frac{x}{2} \le 1$

Оценим максимальное значение выражения $-21\sin 7x - 4\cos\frac{x}{2}$:

$-21\sin 7x - 4\cos\frac{x}{2} \le |-21\sin 7x| + |-4\cos\frac{x}{2}| \le 21|\sin 7x| + 4|\cos\frac{x}{2}| \le 21 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 25$

3. Подставим эту оценку в выражение для производной:

$y' = (-21\sin 7x - 4\cos\frac{x}{2}) - 25 \le 25 - 25 = 0$

Итак, $y' \le 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

4. Проверим, при каких условиях $y' = 0$. Это возможно, только если выражение $-21\sin 7x - 4\cos\frac{x}{2}$ равно 25. Это требует одновременного выполнения условий:

$\begin{cases} -21\sin 7x = 21 \\ -4\cos\frac{x}{2} = 4 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin 7x = -1 \\ \cos\frac{x}{2} = -1 \end{cases}$

Решим второе уравнение: $\cos\frac{x}{2} = -1$.

$\frac{x}{2} = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = 2\pi + 4\pi n = 2\pi(1 + 2n)$.

Теперь подставим эти значения $x$ в первое уравнение:

$\sin(7x) = \sin(7 \cdot 2\pi(1+2n)) = \sin(14\pi(1+2n))$.

Поскольку $14\pi(1+2n)$ является целым кратным $2\pi$, значение синуса равно нулю: $\sin(7x) = 0$.

Но для выполнения условия нам нужно $\sin 7x = -1$. Так как $0 \ne -1$, система не имеет решений.

Следовательно, производная $y'$ никогда не обращается в ноль. Мы имеем $y' < 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, а это значит, что функция строго убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Утверждение доказано.