Номер 30.6, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.6, страница 114.

30.6 На рисунках 57–59 изображены графики производных функций $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$. Определите, какая из функций $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$:

а) возрастает на $\mathbb{R}$;

б) убывает на $\mathbb{R}$.

Рис. 57

$y = f'(x)$

Рис. 58

$y = g'(x)$

Рис. 59

$y = h'(x)$

Для решения этой задачи необходимо использовать связь между знаком производной функции и ее монотонностью:

• Если производная функции $f'(x) \ge 0$ на некотором промежутке, то функция $f(x)$ возрастает (не убывает) на этом промежутке.
• Если производная функции $f'(x) \le 0$ на некотором промежутке, то функция $f(x)$ убывает (не возрастает) на этом промежутке.

Чтобы функция возрастала или убывала на всей числовой прямой $\mathbf{R}$, знак ее производной должен быть постоянным для всех $x \in \mathbf{R}$.

а) возрастает на R

Функция возрастает на всей числовой прямой $\mathbf{R}$, если ее производная неотрицательна (то есть $y' \ge 0$) для всех $x \in \mathbf{R}$. Это означает, что график производной должен быть расположен не ниже оси абсцисс ($Ox$).

1. График $y = f'(x)$ (Рис. 57): Весь график расположен выше оси $Ox$. Минимальное значение производной равно 1. Таким образом, $f'(x) > 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $y = f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой $\mathbf{R}$.

2. График $y = g'(x)$ (Рис. 58): Этот график пересекает ось $Ox$. Для $x < -1$ производная $g'(x)$ отрицательна, а для $x > -1$ — положительна. Следовательно, функция $y = g(x)$ не является возрастающей на всей числовой прямой.

3. График $y = h'(x)$ (Рис. 59): Весь график расположен ниже оси $Ox$, что означает $h'(x) < 0$ для всех $x$. Следовательно, функция $y = h(x)$ убывает на $\mathbf{R}$.

Таким образом, условию, что функция возрастает на $\mathbf{R}$, удовлетворяет только $y = f(x)$.

Ответ: $y = f(x)$.

б) убывает на R

Функция убывает на всей числовой прямой $\mathbf{R}$, если ее производная неположительна (то есть $y' \le 0$) для всех $x \in \mathbf{R}$. Это означает, что график производной должен быть расположен не выше оси абсцисс ($Ox$).

1. График $y = f'(x)$ (Рис. 57): Как установлено выше, $f'(x) > 0$ для всех $x$, поэтому функция $y = f(x)$ возрастает на $\mathbf{R}$.

2. График $y = g'(x)$ (Рис. 58): Производная $g'(x)$ принимает как положительные, так и отрицательные значения, поэтому функция $y = g(x)$ не является убывающей на всей числовой прямой.

3. График $y = h'(x)$ (Рис. 59): Весь график этой производной находится ниже оси $Ox$. Это означает, что $h'(x) < 0$ для всех $x \in \mathbf{R}$. Следовательно, функция $y = h(x)$ строго убывает на всей числовой прямой $\mathbf{R}$.

Таким образом, условию, что функция убывает на $\mathbf{R}$, удовлетворяет только $y = h(x)$.

Ответ: $y = h(x)$.