Номер 32.6, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.6, страница 124.

32.6 a) $y = x^2 - 8x + 19$, $[-1; 5];$

б) $y = x^2 + 4x - 3$, $[0; 2];$

в) $y = 2x^2 - 8x + 6$, $[-1; 4];$

г) $y = -3x^2 + 6x - 10$, $[-2; 9].$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ на заданном отрезке $[d; e]$ необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти абсциссу вершины параболы по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.
2. Если $x_v$ принадлежит отрезку $[d; e]$, то нужно вычислить значения функции в точке $x_v$ и на концах отрезка, то есть $y(x_v)$, $y(d)$ и $y(e)$. Наименьшее из этих трех значений будет наименьшим значением функции на отрезке, а наибольшее — наибольшим.
3. Если $x_v$ не принадлежит отрезку $[d; e]$, то функция на этом отрезке монотонна. В этом случае достаточно вычислить значения функции только на концах отрезка, $y(d)$ и $y(e)$. Меньшее из них будет наименьшим значением, а большее — наибольшим.

а) $y = x^2 - 8x + 19, [-1; 5]$

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=1 > 0$.

Найдём абсциссу вершины параболы: $x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$.

Абсцисса вершины $x_v = 4$ принадлежит отрезку $[-1; 5]$. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке будет в вершине. Наибольшее значение будет на одном из концов отрезка.

Вычислим значения функции в вершине и на концах отрезка:
$y(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 19 = 16 - 32 + 19 = 3$.
$y(-1) = (-1)^2 - 8 \cdot (-1) + 19 = 1 + 8 + 19 = 28$.
$y(5) = 5^2 - 8 \cdot 5 + 19 = 25 - 40 + 19 = 4$.

Сравнивая значения $3, 28, 4$, находим, что наименьшее значение равно $3$, а наибольшее — $28$.

Ответ: наименьшее значение $3$, наибольшее значение $28$.

б) $y = x^2 + 4x - 3, [0; 2]$

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$).

Найдём абсциссу вершины параболы: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Абсцисса вершины $x_v = -2$ не принадлежит отрезку $[0; 2]$. Поскольку вершина находится левее отрезка, а ветви параболы направлены вверх, функция на отрезке $[0; 2]$ монотонно возрастает.

Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом. Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 - 3 = -3$.
$y(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 - 3 = 4 + 8 - 3 = 9$.

Ответ: наименьшее значение $-3$, наибольшее значение $9$.

в) $y = 2x^2 - 8x + 6, [-1; 4]$

Графиком функции является парабола с ветвями вверх ($a=2 > 0$).

Найдём абсциссу вершины параболы: $x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.

Абсцисса вершины $x_v = 2$ принадлежит отрезку $[-1; 4]$. Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается в вершине.

Вычислим значения функции в вершине и на концах отрезка:
$y(2) = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$.
$y(-1) = 2 \cdot (-1)^2 - 8 \cdot (-1) + 6 = 2 + 8 + 6 = 16$.
$y(4) = 2 \cdot 4^2 - 8 \cdot 4 + 6 = 32 - 32 + 6 = 6$.

Сравнивая значения $-2, 16, 6$, находим, что наименьшее значение равно $-2$, а наибольшее — $16$.

Ответ: наименьшее значение $-2$, наибольшее значение $16$.

г) $y = -3x^2 + 6x - 10, [-2; 9]$

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-3 < 0$).

Найдём абсциссу вершины параболы: $x_v = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{6}{-6} = 1$.

Абсцисса вершины $x_v = 1$ принадлежит отрезку $[-2; 9]$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции на отрезке достигается в вершине.

Вычислим значения функции в вершине и на концах отрезка:
$y(1) = -3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 - 10 = -3 + 6 - 10 = -7$.
$y(-2) = -3 \cdot (-2)^2 + 6 \cdot (-2) - 10 = -3 \cdot 4 - 12 - 10 = -12 - 12 - 10 = -34$.
$y(9) = -3 \cdot 9^2 + 6 \cdot 9 - 10 = -3 \cdot 81 + 54 - 10 = -243 + 44 = -199$.

Сравнивая значения $-7, -34, -199$, находим, что наименьшее значение равно $-199$, а наибольшее — $-7$.

Ответ: наименьшее значение $-199$, наибольшее значение $-7$.