Номер 29.19, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.19, страница 108.

29.19 На графике функции $y = x^3 - 3x^2 + x + 1$ найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$. Составьте уравнение каждой из этих касательных.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $k = f'(x_0)$. Также угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс, $k = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, угол $\alpha = 45^\circ$. Найдем угловой коэффициент касательной:

$k = \tan(45^\circ) = 1$

Следовательно, нам нужно найти точки на графике функции, в которых производная равна 1.

Найдем точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45°.

Дана функция $y = x^3 - 3x^2 + x + 1$.

Найдем ее производную:

$y'(x) = (x^3 - 3x^2 + x + 1)' = 3x^2 - 6x + 1$

Приравняем производную к значению углового коэффициента $k=1$, чтобы найти абсциссы искомых точек:

$3x^2 - 6x + 1 = 1$

$3x^2 - 6x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 2) = 0$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие ординаты этих точек, подставив найденные абсциссы в исходное уравнение функции $y = x^3 - 3x^2 + x + 1$.

При $x_1 = 0$:

$y_1 = 0^3 - 3(0)^2 + 0 + 1 = 1$

Таким образом, первая точка касания — $(0, 1)$.

При $x_2 = 2$:

$y_2 = 2^3 - 3(2)^2 + 2 + 1 = 8 - 3 \cdot 4 + 2 + 1 = 8 - 12 + 2 + 1 = -1$

Таким образом, вторая точка касания — $(2, -1)$.

Составьте уравнение каждой из этих касательных.

Уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$, где $k$ — угловой коэффициент.

Для точки $(0, 1)$ и $k=1$ уравнение касательной:

$y - 1 = 1 \cdot (x - 0)$

$y = x + 1$

Для точки $(2, -1)$ и $k=1$ уравнение касательной:

$y - (-1) = 1 \cdot (x - 2)$

$y + 1 = x - 2$

$y = x - 3$

Ответ: Искомые точки на графике функции: $(0, 1)$ и $(2, -1)$. Уравнения касательных в этих точках: $y = x + 1$ и $y = x - 3$.