Номер 26.26, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.26, страница 93.

26.26 a) $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x^2 - 3x}$;

б) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x + 3} - \sqrt{2x - 7})$.

a) Найдём предел $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x}$.

При подстановке предельного значения $x=3$ в функцию мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как:

Числитель: $\sqrt{3+6}-3 = \sqrt{9}-3 = 3-3 = 0$.

Знаменатель: $3^2 - 3 \cdot 3 = 9 - 9 = 0$.

Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $\sqrt{x+6}+3$.

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x} = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x+6}-3)(\sqrt{x+6}+3)}{(x^2-3x)(\sqrt{x+6}+3)}$

В числителе воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$(\sqrt{x+6}-3)(\sqrt{x+6}+3) = (\sqrt{x+6})^2 - 3^2 = (x+6)-9 = x-3$.

В знаменателе вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^2-3x = x(x-3)$.

Подставим полученные выражения обратно в предел:

$\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)}$

Так как $x$ стремится к 3, но не равно 3, мы можем сократить дробь на множитель $(x-3)$:

$\lim_{x \to 3} \frac{1}{x(\sqrt{x+6}+3)}$

Теперь мы можем подставить значение $x=3$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{3(\sqrt{3+6}+3)} = \frac{1}{3(\sqrt{9}+3)} = \frac{1}{3(3+3)} = \frac{1}{3 \cdot 6} = \frac{1}{18}$.

Ответ: $\frac{1}{18}$.

б) Найдём предел $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7})$.

При $x \to \infty$ оба корня стремятся к бесконечности, и мы получаем неопределенность вида $\infty - \infty$.

Для раскрытия этой неопределенности умножим и разделим наше выражение на сопряженное ему, то есть на $\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7}$.

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7}) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7})(\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7})}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7}}$

В числителе, как и в предыдущем примере, применяем формулу разности квадратов:

$(\sqrt{2x+3})^2 - (\sqrt{2x-7})^2 = (2x+3) - (2x-7) = 2x+3-2x+7 = 10$.

Теперь предел выглядит следующим образом:

$\lim_{x \to \infty} \frac{10}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7}}$

При $x \to \infty$ знаменатель дроби $\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7}$ стремится к $\infty + \infty$, то есть к бесконечности. Числитель же является константой (10). Предел отношения постоянной величины к бесконечно большой величине равен нулю.

$\frac{10}{\infty} = 0$.

Ответ: $0$.