Номер 26.19, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.19, страница 92.

26.19 Постройте эскиз графика какой-нибудь функции $y=f(x)$, обладающей заданными свойствами:

а) $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ и $f(2) = 3$;

б) $\lim_{x \to -6} f(x) = 4$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$;

в) $\lim_{x \to -1} f(x) = 4$ и $f(-1)$ не существует;

г) $\lim_{x \to 3} f(x) = -1$ и $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -5$.

а)

Условие $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ означает, что при приближении значения аргумента $x$ к 2 (как слева, так и справа), значение функции $f(x)$ стремится к 3. На графике это означает, что кривая функции подходит к точке с координатами $(2, 3)$.

Условие $f(2) = 3$ означает, что значение функции в самой точке $x=2$ равно 3. То есть, точка $(2, 3)$ принадлежит графику функции.

Совпадение предела функции в точке и значения функции в этой точке ($\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$) является определением непрерывности функции в точке $a$. Таким образом, нам нужно построить эскиз графика любой функции, которая непрерывна в точке $x=2$ и проходит через точку $(2, 3)$.

Простейшим примером такой функции является постоянная функция $f(x) = 3$. Ее график — это прямая линия, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, 3)$. Другим примером может быть линейная функция $f(x) = x+1$.

Эскиз графика для $f(x)=3$ — это горизонтальная прямая $y=3$. В точке $x=2$ график проходит через точку $(2, 3)$ без каких-либо разрывов или "дырок".

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = 3$. Ее график — это горизонтальная прямая $y=3$, которая непрерывна во всех точках, в том числе и в точке $x=2$, где $f(2)=3$.

б)

Условие $\lim_{x \to -6} f(x) = 4$ означает, что при приближении $x$ к -6, значение функции $f(x)$ стремится к 4. Значение функции в самой точке $x=-6$ не задано, поэтому на графике в точке $(-6, 4)$ может быть разрыв (так называемая "выколотая" точка).

Условие $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ означает, что при $x$, стремящемся к минус бесконечности, значение функции стремится к нулю. Графически это означает, что прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to -\infty$.

В качестве примера можно рассмотреть функцию, которая удовлетворяет обоим условиям, например, показательную функцию вида $f(x) = 4e^{x+6}$. Проверим условия:
$\lim_{x \to -6} 4e^{x+6} = 4e^{-6+6} = 4e^0 = 4 \cdot 1 = 4$.
$\lim_{x \to -\infty} 4e^{x+6} = 4 \cdot \lim_{x \to -\infty} e^{x+6} = 4 \cdot 0 = 0$.

Эскиз графика: кривая, которая слева (при $x \to -\infty$) приближается к оси абсцисс, а при $x=-6$ подходит к значению $y=4$. В точке $(-6, 4)$ можно изобразить "выколотую" точку (незакрашенный кружок), чтобы подчеркнуть, что значение функции в этой точке не определено условием.

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = 4e^{x+6}$. Ее график при $x \to -\infty$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ и стремится к точке $(-6, 4)$ при $x \to -6$.

в)

Условие $\lim_{x \to -1} f(x) = 4$ означает, что когда $x$ стремится к -1, значения $f(x)$ стремятся к 4.

Условие "$f(-1)$ не существует" означает, что функция не определена в точке $x=-1$.

Эти два условия вместе описывают так называемый устранимый разрыв в точке $x=-1$. График функции подходит к точке $(-1, 4)$ с обеих сторон, но в самой этой точке имеется "дырка" или "выколотая" точка.

Примером такой функции может служить рациональная функция, у которой и числитель, и знаменатель обращаются в ноль при $x=-1$. Например, $f(x) = \frac{4(x+1)}{x+1}$. Эта функция равна 4 при всех $x \neq -1$ и не определена при $x=-1$.
Другой, менее тривиальный пример — линейная функция с выколотой точкой: $f(x) = -x+3$ при $x \neq -1$. Проверим: $\lim_{x \to -1} (-x+3) = -(-1)+3 = 4$. При этом $f(-1)$ не определена по построению.

Эскиз графика: прямая линия $y = -x+3$, у которой в точке $(-1, 4)$ нарисован незакрашенный кружок ("выколотая" точка).

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = -x+3$ с областью определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Ее график — это прямая линия с "выколотой" точкой в $(-1, 4)$.

г)

Условие $\lim_{x \to 3} f(x) = -1$ означает, что при приближении $x$ к 3, значение функции $f(x)$ стремится к -1. В точке $(3, -1)$ на графике может быть как сама точка, так и разрыв.

Условие $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -5$ означает, что при $x$, стремящемся к плюс бесконечности, значение функции стремится к -5. Это означает, что прямая $y=-5$ является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to +\infty$.

Подберем функцию, удовлетворяющую этим свойствам. Хорошим кандидатом является дробно-рациональная функция вида $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$.
Из условия $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -5$ следует, что отношение старших коэффициентов $\frac{a}{c} = -5$. Возьмем $a=-5, c=1$. Функция принимает вид $f(x) = \frac{-5x+b}{x+d}$.
Из условия $\lim_{x \to 3} f(x) = -1$ (предполагая для простоты, что функция непрерывна в этой точке), получаем: $\frac{-5(3)+b}{3+d} = -1 \implies \frac{-15+b}{3+d} = -1 \implies -15+b = -3-d \implies b+d=12$.
Мы можем выбрать любые значения $b$ и $d$, удовлетворяющие этому уравнению, при условии что знаменатель не равен нулю в точке $x=3$ (т.е. $3+d \neq 0$). Пусть $d=1$, тогда $b=11$.
Получаем функцию: $f(x) = \frac{-5x+11}{x+1}$.

Эскиз графика: кривая, которая при $x \to +\infty$ приближается к горизонтальной прямой $y=-5$. При $x=3$ кривая проходит через точку $(3, -1)$.

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = \frac{-5x+11}{x+1}$. Ее график имеет горизонтальную асимптоту $y=-5$ при $x \to +\infty$ и проходит через точку $(3, -1)$.