Номер 26.18, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.18, страница 92.

26.18 На рисунке 31 изображён график функции $y=f(x)$.

Найдите:

a) $\lim_{x \to -\infty} f(x);$

б) $\lim_{x \to 0} f(x);$

в) $\lim_{x \to 3} f(x);$

г) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Рис. 31

а) Для нахождения предела $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ необходимо посмотреть на поведение графика функции, когда значение $x$ стремится к минус бесконечности, то есть уходит далеко влево по оси абсцисс. Из рисунка видно, что при движении влево по оси $x$ график функции неограниченно уходит вниз. Это означает, что значения функции $f(x)$ становятся всё меньше и меньше, стремясь к минус бесконечности.

Ответ: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

б) Для нахождения предела $\lim_{x \to 0} f(x)$ нужно определить, к какому значению стремится $f(x)$, когда $x$ приближается к 0. На графике мы видим, что при $x=0$ (на оси ординат) график функции проходит через точку, ордината которой равна 4. В этой точке функция непрерывна, поэтому предел равен значению функции в этой точке.

Ответ: $\lim_{x \to 0} f(x) = 4$.

в) Для нахождения предела $\lim_{x \to 3} f(x)$ нужно исследовать поведение функции в окрестности точки $x=3$. Предел существует, если левосторонний и правосторонний пределы существуют и равны.
При приближении $x$ к 3 слева (то есть $x \to 3^-$) значения функции $f(x)$ стремятся к 9. На графике это показано кривой, которая подходит к "выколотой" точке $(3, 9)$.
При приближении $x$ к 3 справа (то есть $x \to 3^+$) значения функции $f(x)$ также стремятся к 9.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы равны ($\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = 9$), то и сам предел в точке $x=3$ существует и равен 9. Следует заметить, что значение функции в самой точке $x=3$ равно 4, что показано закрашенной точкой $(3, 4)$, но это не влияет на значение предела, который описывает поведение функции вблизи точки.

Ответ: $\lim_{x \to 3} f(x) = 9$.

г) Для нахождения предела $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ необходимо посмотреть на поведение графика функции, когда значение $x$ стремится к плюс бесконечности, то есть уходит далеко вправо по оси абсцисс. На графике видно, что при увеличении $x$ кривая $y=f(x)$ приближается к горизонтальной пунктирной линии. Эта линия является горизонтальной асимптотой для графика функции. Ордината этой асимптоты равна 4. Таким образом, значения функции стремятся к 4.

Ответ: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4$.