Номер 26.11, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.11, страница 89.

26.11 Известно, что $ \lim_{x \to \infty} f(x) = -3 $. Вычислите:

а) $ \lim_{x \to +\infty} 6f(x) $;

б) $ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{3} $;

в) $ \lim_{x \to -\infty} 8f(x) $;

г) $ \lim_{x \to \infty} (0,4f(x)) $.

Все пункты задачи решаются с использованием свойства предела: постоянный множитель можно выносить за знак предела. То есть, $\lim_{x \to a} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to a} f(x)$.

Из условия задачи $\lim_{x \to \infty} f(x) = -3$ следует, что предел функции $f(x)$ равен -3 при стремлении $x$ как к $+\infty$, так и к $-\infty$.

а) Вычислим предел $\lim_{x \to +\infty} 6f(x)$.

Применим свойство вынесения константы ($c=6$) за знак предела:

$\lim_{x \to +\infty} 6f(x) = 6 \cdot \lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Так как $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -3$, получаем:

$6 \cdot (-3) = -18$.

Ответ: -18.

б) Вычислим предел $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{3}$.

Выражение под пределом можно записать как произведение константы $\frac{1}{3}$ на функцию $f(x)$. Вынесем константу за знак предела:

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{3} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{3} \cdot f(x)\right) = \frac{1}{3} \cdot \lim_{x \to \infty} f(x)$.

Подставим значение из условия, $\lim_{x \to \infty} f(x) = -3$:

$\frac{1}{3} \cdot (-3) = -1$.

Ответ: -1.

в) Вычислим предел $\lim_{x \to -\infty} 8f(x)$.

Выносим константу $c=8$ за знак предела:

$\lim_{x \to -\infty} 8f(x) = 8 \cdot \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

Из условия следует, что $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -3$, тогда:

$8 \cdot (-3) = -24$.

Ответ: -24.

г) Вычислим предел $\lim_{x \to \infty} (0,4f(x))$.

Выносим константу $c=0,4$ за знак предела:

$\lim_{x \to \infty} (0,4f(x)) = 0,4 \cdot \lim_{x \to \infty} f(x)$.

Подставляем известное значение предела $\lim_{x \to \infty} f(x) = -3$:

$0,4 \cdot (-3) = -1,2$.

Ответ: -1,2.