Номер 26.9, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.9, страница 89.

26.9 a) $lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена сверху;

б) $lim_{x \to +\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу;

в) $lim_{x \to \infty} h(x) = -2$ и функция ограничена;

г) $lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена.

а) Да, такая функция существует.

Условие $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$ по определению означает, что для любого $\epsilon > 0$ найдется такое число $N$, что для всех $x < N$ будет выполняться неравенство $|h(x) - 1| < \epsilon$, или $1 - \epsilon < h(x) < 1 + \epsilon$. Это значит, что на интервале $(-\infty, N)$ функция $h(x)$ ограничена сверху (например, числом $1+\epsilon$).

Второе условие требует, чтобы функция была ограничена сверху на всей области определения. Это означает, что существует такое число $M$, что $h(x) \le M$ для всех $x$. Эти два условия не противоречат друг другу. Если функция ограничена сверху на всей области определения, то она автоматически будет ограничена и на луче $(-\infty, N)$. Таким образом, необходимо лишь, чтобы функция была ограничена сверху и на оставшейся части области определения, то есть на $[N, +\infty)$.

В качестве примера можно привести функцию $h(x) = 1 - e^x$.

Проверим условия:

1. Предел функции при $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} (1 - e^x) = 1 - 0 = 1$.

2. Ограниченность сверху: поскольку показательная функция $e^x$ всегда положительна ($e^x > 0$), то $-e^x < 0$. Следовательно, $h(x) = 1 - e^x < 1$ для всех $x$. Функция ограничена сверху, например, числом 1.

Ответ: Да, такая функция существует, например, $h(x) = 1 - e^x$.

б) Да, такая функция существует.

Рассуждения аналогичны пункту а). Условие $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 1$ означает, что для любого $\epsilon > 0$ найдется такое число $N$, что для всех $x > N$ значения функции $h(x)$ лежат в интервале $(1 - \epsilon, 1 + \epsilon)$. Это означает, что на интервале $(N, +\infty)$ функция ограничена снизу (например, числом $1-\epsilon$).

Второе условие требует, чтобы функция была ограничена снизу на всей области определения, то есть $h(x) \ge m$ для некоторого числа $m$ и для всех $x$. Условия не противоречат друг другу. Существование предела на $+\infty$ не накладывает ограничений на поведение функции на $(-\infty, N]$, где она также должна быть ограничена снизу.

В качестве примера можно привести функцию $h(x) = 1 + \frac{1}{x^2+1}$.

Проверим условия:

1. Предел функции при $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x^2+1}) = 1 + 0 = 1$.

2. Ограниченность снизу: поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2+1 \ge 1$, и, следовательно, дробь $\frac{1}{x^2+1}$ всегда положительна. Таким образом, $h(x) = 1 + \frac{1}{x^2+1} > 1$ для всех $x$. Функция ограничена снизу, например, числом 1.

Ответ: Да, такая функция существует, например, $h(x) = 1 + \frac{1}{x^2+1}$.

в) Да, такая функция существует.

Условие $\lim_{x \to \infty} h(x) = -2$ означает, что пределы функции при $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$ существуют и оба равны -2. Функция, имеющая конечные пределы на обеих бесконечностях, является ограниченной (при условии, что она определена и не имеет вертикальных асимптот на конечном промежутке).

Из определения предела следует, что для любого $\epsilon > 0$ существуют такие числа $N_1$ и $N_2$, что для всех $x > N_1$ и для всех $x < N_2$ значения функции $h(x)$ лежат в интервале $(-2 - \epsilon, -2 + \epsilon)$. Это означает, что вне отрезка $[N_2, N_1]$ функция ограничена. Если функция непрерывна на отрезке $[N_2, N_1]$, то по теореме Вейерштрасса она достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений, то есть также является ограниченной. Объединяя эти два факта, получаем, что функция ограничена на всей числовой оси.

В качестве примера можно привести функцию $h(x) = -2 + \frac{2}{x^2+4}$.

Проверим условия:

1. Предел функции при $x \to \infty$: $\lim_{x \to \infty} (-2 + \frac{2}{x^2+4}) = -2 + 0 = -2$.

2. Ограниченность: так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+4 \ge 4$. Отсюда $0 < \frac{2}{x^2+4} \le \frac{2}{4} = 0.5$. Тогда $-2 < h(x) \le -2 + 0.5 = -1.5$. Функция ограничена снизу числом -2 и сверху числом -1.5, следовательно, она ограничена.

Ответ: Да, такая функция существует, например, $h(x) = -2 + \frac{2}{x^2+4}$.

г) Да, такая функция существует.

Задача полностью аналогична предыдущему пункту. Условие $\lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ означает, что $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 1$ и $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$. Как и в пункте в), наличие конечных пределов на $+\infty$ и $-\infty$ (при условии непрерывности на любом конечном интервале) гарантирует, что функция является ограниченной на всей своей области определения. Первое условие влечет за собой второе.

В качестве примера можно привести функцию $h(x) = \frac{x^2}{x^2+1}$.

Проверим условия:

1. Предел функции при $x \to \infty$: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + 1/x^2} = \frac{1}{1+0} = 1$.

2. Ограниченность: поскольку $x^2 \ge 0$ и $x^2+1 > 0$, то $h(x) \ge 0$. Также $x^2 < x^2+1$, поэтому $\frac{x^2}{x^2+1} < 1$. Таким образом, для всех $x$ выполняется неравенство $0 \le h(x) < 1$. Функция ограничена.

Ответ: Да, такая функция существует, например, $h(x) = \frac{x^2}{x^2+1}$.