Номер 26.6, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.6, страница 89.

Постройте эскиз графика какой-нибудь функции $y=f(x)$, обладающей заданными свойствами:

26.6 a) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0;$

б) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 10$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2;$

в) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1;$

г) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -4.$

а)

Условия $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ означают, что график функции $y=f(x)$ имеет две горизонтальные асимптоты: прямую $y=4$ при $x \to +\infty$ и прямую $y=0$ (ось абсцисс) при $x \to -\infty$.

Для построения эскиза нужно нарисовать кривую, которая при движении влево по оси $x$ будет неограниченно приближаться к прямой $y=0$, а при движении вправо — к прямой $y=4$. Самый простой вариант — это гладкая кривая, которая монотонно возрастает, "переходя" от одной асимптоты к другой.

Примером конкретной функции, обладающей данными свойствами, является $f(x) = \frac{4e^x}{e^x+1}$.

Ответ: Эскиз графика представляет собой кривую, которая в левой части плоскости (при $x \to -\infty$) приближается к горизонтальной асимптоте $y=0$, а в правой части (при $x \to +\infty$) — к горизонтальной асимптоте $y=4$. В простейшем случае это плавно возрастающая кривая.

б)

Условия $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 10$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2$ означают, что график функции $y=f(x)$ имеет две горизонтальные асимптоты: прямую $y=10$ при $x \to +\infty$ и прямую $y=-2$ при $x \to -\infty$.

Эскиз графика должен представлять собой кривую, которая при $x \to -\infty$ приближается к прямой $y=-2$, а при $x \to +\infty$ — к прямой $y=10$. Поскольку значение функции на $+\infty$ (10) больше, чем на $-\infty$ (-2), простейший эскиз будет представлять собой монотонно возрастающую кривую.

Примером такой функции может служить $f(x) = \frac{10e^x - 2}{e^x+1}$.

Ответ: Эскиз графика представляет собой кривую, которая в левой части плоскости (при $x \to -\infty$) приближается к горизонтальной асимптоте $y=-2$, а в правой части (при $x \to +\infty$) — к горизонтальной асимптоте $y=10$. В простейшем случае это плавно возрастающая кривая.

в)

Условия $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$ означают, что график функции $y=f(x)$ имеет две горизонтальные асимптоты: прямую $y=-2$ при $x \to +\infty$ и прямую $y=1$ при $x \to -\infty$.

Эскиз графика должен представлять собой кривую, которая при $x \to -\infty$ приближается к прямой $y=1$, а при $x \to +\infty$ — к прямой $y=-2$. Поскольку значение функции на $+\infty$ (-2) меньше, чем на $-\infty$ (1), простейший эскиз будет представлять собой монотонно убывающую кривую.

Примером такой функции может служить $f(x) = \frac{-2e^x + 1}{e^x+1}$.

Ответ: Эскиз графика представляет собой кривую, которая в левой части плоскости (при $x \to -\infty$) приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$, а в правой части (при $x \to +\infty$) — к горизонтальной асимптоте $y=-2$. В простейшем случае это плавно убывающая кривая.

г)

Условия $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -4$ означают, что график функции $y=f(x)$ имеет две горизонтальные асимптоты: прямую $y=3$ при $x \to +\infty$ и прямую $y=-4$ при $x \to -\infty$.

Эскиз графика должен представлять собой кривую, которая при $x \to -\infty$ приближается к прямой $y=-4$, а при $x \to +\infty$ — к прямой $y=3$. Поскольку значение функции на $+\infty$ (3) больше, чем на $-\infty$ (-4), простейший эскиз будет представлять собой монотонно возрастающую кривую.

Примером такой функции может служить $f(x) = \frac{3e^x - 4}{e^x+1}$.

Ответ: Эскиз графика представляет собой кривую, которая в левой части плоскости (при $x \to -\infty$) приближается к горизонтальной асимптоте $y=-4$, а в правой части (при $x \to +\infty$) — к горизонтальной асимптоте $y=3$. В простейшем случае это плавно возрастающая кривая.