Номер 25.15, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 25.15, страница 86.

25.15 Представьте в виде обыкновенной дроби:

а) $0,(15)$;

б) $0,1(2)$;

в) $0,(18)$;

г) $0,2(34)$.

а)

Чтобы представить чисто периодическую десятичную дробь $0,(15)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $x$:
$x = 0,151515...$
В периоде дроби 2 цифры, поэтому умножим обе части равенства на $10^2=100$:
$100x = 15,151515...$
Теперь вычтем из второго равенства первое:
$100x - x = 15,151515... - 0,151515...$
$99x = 15$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{15}{99}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{15 \div 3}{99 \div 3} = \frac{5}{33}$
Ответ: $\frac{5}{33}$

б)

Чтобы представить смешанную периодическую десятичную дробь $0,1(2)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $x$:
$x = 0,1222...$
Умножим обе части равенства на 10, чтобы часть до периода (цифра 1) стала целой:
$10x = 1,222...$
Теперь умножим исходное равенство на 100, чтобы сдвинуть один период влево от запятой:
$100x = 12,222...$
Вычтем из второго полученного равенства первое:
$100x - 10x = 12,222... - 1,222...$
$90x = 11$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{11}{90}$
Эта дробь несократима.
Ответ: $\frac{11}{90}$

в)

Чтобы представить чисто периодическую десятичную дробь $0,(18)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $x$:
$x = 0,181818...$
В периоде дроби 2 цифры, поэтому умножим обе части равенства на $10^2=100$:
$100x = 18,181818...$
Вычтем из второго равенства первое:
$100x - x = 18,181818... - 0,181818...$
$99x = 18$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{18}{99}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:
$x = \frac{18 \div 9}{99 \div 9} = \frac{2}{11}$
Ответ: $\frac{2}{11}$

г)

Чтобы представить смешанную периодическую десятичную дробь $0,2(34)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $x$:
$x = 0,2343434...$
Умножим обе части равенства на 10, чтобы часть до периода (цифра 2) стала целой:
$10x = 2,343434...$
Теперь умножим исходное равенство на 1000 (поскольку после запятой одна цифра до периода и две в периоде, $10^{1+2}=1000$), чтобы сдвинуть один период влево от запятой:
$1000x = 234,343434...$
Вычтем из второго полученного равенства первое:
$1000x - 10x = 234,343434... - 2,343434...$
$990x = 232$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{232}{990}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$x = \frac{232 \div 2}{990 \div 2} = \frac{116}{495}$
Эта дробь несократима.
Ответ: $\frac{116}{495}$