Номер 25.13, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 25.13, страница 86.

25.13 Упростите выражение (при условии, что $x \neq \frac{\pi n}{2}$):

a) $\sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + \ldots + \sin^n x + \ldots;$

б) $\cos x - \cos^2 x + \cos^3 x - \cos^4 x + \ldots;$

в) $\cos^2 x + \cos^4 x + \cos^6 x + \cos^8 x + \ldots;$

г) $1 - \sin^3 x + \sin^6 x - \sin^9 x + \ldots .$

а) $\sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + ... + \sin^n x + ...$

Данное выражение представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \sin x$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{\sin^2 x}{\sin x} = \sin x$.

Условие сходимости ряда $|q| < 1$, то есть $|\sin x| < 1$. Заданное в условии ограничение $x \neq \frac{\pi n}{2}$ (где $n$ — целое число) гарантирует, что $|\sin x| \neq 1$. Если $\sin x = 0$, то сумма ряда равна 0. В остальных случаях, когда $0 < |\sin x| < 1$, ряд сходится.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$:

$S = \frac{\sin x}{1 - \sin x}$

Ответ: $\frac{\sin x}{1 - \sin x}$

б) $\cos x - \cos^2 x + \cos^3 x - \cos^4 x + ...$

Это выражение также является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \cos x$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{-\cos^2 x}{\cos x} = -\cos x$.

Условие сходимости ряда $|q| < 1$, то есть $|-\cos x| < 1$ или $|\cos x| < 1$. Условие $x \neq \frac{\pi n}{2}$ обеспечивает выполнение этого неравенства, так как $|\cos x| \neq 1$.

Используем формулу суммы $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$S = \frac{\cos x}{1 - (-\cos x)} = \frac{\cos x}{1 + \cos x}$

Ответ: $\frac{\cos x}{1 + \cos x}$

в) $\cos^2 x + \cos^4 x + \cos^6 x + \cos^8 x + ...$

Данное выражение представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \cos^2 x$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{\cos^4 x}{\cos^2 x} = \cos^2 x$.

Условие сходимости ряда $|q| < 1$, то есть $|\cos^2 x| < 1$. Поскольку $\cos^2 x \ge 0$, это эквивалентно $\cos^2 x < 1$, или $|\cos x| < 1$. Условие $x \neq \frac{\pi n}{2}$ гарантирует это.

Сумма прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$S = \frac{\cos^2 x}{1 - \cos^2 x}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.

Тогда $S = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x$.

Ответ: $\cot^2 x$

г) $1 - \sin^3 x + \sin^6 x - \sin^9 x + ...$

Это выражение также является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{-\sin^3 x}{1} = -\sin^3 x$.

Условие сходимости ряда $|q| < 1$, то есть $|-\sin^3 x| < 1$, что равносильно $|\sin x|^3 < 1$, или $|\sin x| < 1$. Условие $x \neq \frac{\pi n}{2}$ обеспечивает сходимость.

Сумма прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$S = \frac{1}{1 - (-\sin^3 x)} = \frac{1}{1 + \sin^3 x}$

Ответ: $\frac{1}{1 + \sin^3 x}$