Номер 25.10, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 25.10, страница 86.

25.10 Найдите сумму геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и третьего её членов равна 29, а второго и четвёртого 11,6.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда $n$-й член прогрессии вычисляется по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи, сумма первого и третьего членов равна 29, а сумма второго и четвёртого — 11,6. Запишем это в виде системы уравнений:

$ \begin{cases} b_1 + b_3 = 29 \\ b_2 + b_4 = 11,6 \end{cases} $

Выразим все члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1q$
$b_3 = b_1q^2$
$b_4 = b_1q^3$

Подставим эти выражения в систему уравнений:

$ \begin{cases} b_1 + b_1q^2 = 29 \\ b_1q + b_1q^3 = 11,6 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$ \begin{cases} b_1(1 + q^2) = 29 \\ b_1q(1 + q^2) = 11,6 \end{cases} $

Теперь разделим второе уравнение на первое, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$ (при условии, что $b_1 \neq 0$ и $1+q^2 \neq 0$):

$\frac{b_1q(1 + q^2)}{b_1(1 + q^2)} = \frac{11,6}{29}$

Сократив $b_1$ и $(1+q^2)$, получим:

$q = \frac{11,6}{29} = \frac{116}{290} = \frac{4 \cdot 29}{10 \cdot 29} = \frac{4}{10} = 0,4$

Теперь, зная $q$, найдем первый член прогрессии $b_1$ из первого уравнения системы $b_1(1 + q^2) = 29$:

$b_1(1 + 0,4^2) = 29$

$b_1(1 + 0,16) = 29$

$b_1(1,16) = 29$

$b_1 = \frac{29}{1,16} = \frac{2900}{116} = \frac{2900}{4 \cdot 29} = \frac{100}{4} = 25$

Так как знаменатель прогрессии $|q| = |0,4| < 1$, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, и можно найти её сумму. Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

Подставим найденные значения $b_1 = 25$ и $q = 0,4$:

$S = \frac{25}{1 - 0,4} = \frac{25}{0,6} = \frac{250}{6} = \frac{125}{3}$

Сумму можно также записать в виде смешанной дроби: $41\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{125}{3}$