Номер 25.4, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 25.4, страница 85.

25.4 a) $-6 + \frac{2}{3} - \frac{2}{27} + \frac{2}{243} - \dots;$

б) $3 + \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots;$

В) $49 - 14 + 4 - \frac{8}{7} + \dots;$

Г) $4 + 2\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} + \dots;$

а) $-6 + \frac{2}{3} - \frac{2}{27} + \frac{2}{243} - \dots$

Данный ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Найдем первый член прогрессии $b_1$ и ее знаменатель $q$.

Первый член прогрессии: $b_1 = -6$.

Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2/3}{-6} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$.

Проверим для следующих членов: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-2/27}{2/3} = -\frac{2}{27} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{27} = -\frac{1}{9}$.

Поскольку $|q| = |-\frac{1}{9}| = \frac{1}{9} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Вычислим сумму:

$S = \frac{-6}{1 - (-\frac{1}{9})} = \frac{-6}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{-6}{\frac{10}{9}} = -6 \cdot \frac{9}{10} = -\frac{54}{10} = -5.4$.

Ответ: $-5.4$

б) $3 + \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots$

Данный ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Найдем первый член прогрессии $b_1$ и ее знаменатель $q$.

Первый член прогрессии: $b_1 = 3$.

Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Проверим для следующих членов: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Поскольку $|q| = |\frac{1}{\sqrt{3}}| = \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Вычислим сумму:

$S = \frac{3}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}+1)$:

$S = \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{3-1} = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}$

в) $49 - 14 + 4 - \frac{8}{7} + \dots$

Данный ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Найдем первый член прогрессии $b_1$ и ее знаменатель $q$.

Первый член прогрессии: $b_1 = 49$.

Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-14}{49} = -\frac{2}{7}$.

Проверим для следующих членов: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{4}{-14} = -\frac{2}{7}$.

Поскольку $|q| = |-\frac{2}{7}| = \frac{2}{7} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Вычислим сумму:

$S = \frac{49}{1 - (-\frac{2}{7})} = \frac{49}{1 + \frac{2}{7}} = \frac{49}{\frac{9}{7}} = 49 \cdot \frac{7}{9} = \frac{343}{9}$.

Ответ: $\frac{343}{9}$

г) $4 + 2\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} + \dots$

Данный ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Найдем первый член прогрессии $b_1$ и ее знаменатель $q$.

Первый член прогрессии: $b_1 = 4$.

Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проверим для следующих членов: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $|q| = |\frac{\sqrt{2}}{2}| = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Вычислим сумму:

$S = \frac{4}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{2-\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2+\sqrt{2})$:

$S = \frac{8(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{16+8\sqrt{2}}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{16+8\sqrt{2}}{4-2} = \frac{16+8\sqrt{2}}{2} = 8+4\sqrt{2}$.

Ответ: $8+4\sqrt{2}$