Номер 24.32, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.32, страница 84.

24.32 Верно ли утверждение:

а) если последовательность имеет предел, то она монотонна;

б) если последовательность монотонна, то она имеет предел;

в) если последовательность ограничена, то она имеет предел;

г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела?

Приведите примеры, подтверждающие или опровергающие это утверждение.

а) если последовательность имеет предел, то она монотонна

Утверждение неверно. Последовательность, имеющая предел, не обязательно является монотонной.

Пример (контрпример): рассмотрим последовательность $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$.

Ее члены: $-1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$

Эта последовательность имеет предел, равный нулю: $\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$.

Однако она не является монотонной, так как ее члены колеблются вокруг нуля, принимая то положительные, то отрицательные значения. Например, $x_1 < x_2$, но $x_2 > x_3$.

Ответ: утверждение неверно.

б) если последовательность монотонна, то она имеет предел

Утверждение неверно. Чтобы монотонная последовательность имела конечный предел, она также должна быть ограниченной (согласно теореме Вейерштрасса о сходимости монотонной последовательности).

Пример (контрпример): рассмотрим последовательность натуральных чисел $x_n = n$.

Ее члены: $1, 2, 3, 4, \dots$

Эта последовательность является монотонной (строго возрастающей), так как каждый следующий ее член больше предыдущего ($x_{n+1} > x_n$).

Однако она не имеет конечного предела, так как является неограниченной и стремится к бесконечности: $\lim_{n \to \infty} n = \infty$.

Ответ: утверждение неверно.

в) если последовательность ограничена, то она имеет предел

Утверждение неверно. Ограниченная последовательность не обязана иметь предел.

Пример (контрпример): рассмотрим последовательность $x_n = (-1)^n$.

Ее члены: $-1, 1, -1, 1, \dots$

Эта последовательность ограничена, так как все ее члены по модулю не превосходят 1 (т.е. $|x_n| \le 1$).

Однако она не имеет предела, поскольку ее члены не приближаются к какому-либо одному числу, а постоянно принимают значения -1 и 1.

Ответ: утверждение неверно.

г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела

Утверждение неверно. Существуют немонотонные последовательности, которые имеют предел.

Пример (контрпример): снова рассмотрим последовательность $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$.

Как было показано в пункте а), эта последовательность не является монотонной.

Тем не менее, она имеет предел, равный нулю: $\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$.

Следовательно, из отсутствия монотонности не следует отсутствие предела.

Ответ: утверждение неверно.