Номер 24.28, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.28, страница 83.

24.28 a) $x_n = \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3};$

б) $x_n = 6 - \frac{7}{n^2} - \frac{3}{n} - \frac{3}{\sqrt{n}};$

в) $x_n = \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} - \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4};$

г) $x_n = \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} - 4 + \frac{7}{n^2}.$

а) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3}$ при $n \to \infty$ (при стремлении n к бесконечности), мы воспользуемся свойством аддитивности предела. Предел суммы равен сумме пределов слагаемых:

$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{8}{\sqrt{n}} + \lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^3} $.

Для каждого слагаемого вида $\frac{c}{n^p}$, где $p > 0$, предел при $n \to \infty$ равен нулю. В нашем случае:

$\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} = 0$ (так как степень $n$ в знаменателе $p=1 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{8}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^{1/2}} = 0$ (так как $p=1/2 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^3} = 0$ (так как $p=3 > 0$).

Складывая эти пределы, получаем:

$\lim_{n \to \infty} x_n = 0 + 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

б) Дана последовательность $x_n = 6 - \frac{7}{n^2} - \frac{3}{n} - \frac{3}{\sqrt{n}}$. Найдем ее предел при $n \to \infty$. Используя свойства пределов (предел суммы/разности равен сумме/разности пределов), можем найти предел каждого члена выражения по отдельности:

$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( 6 - \frac{7}{n^2} - \frac{3}{n} - \frac{3}{\sqrt{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} 6 - \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} - \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} - \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} $.

Вычислим каждый предел:

Предел константы равен самой константе: $\lim_{n \to \infty} 6 = 6$.

Пределы остальных членов равны нулю, так как они имеют вид $\frac{c}{n^p}$ при $p > 0$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} = 0$ (здесь $p=2 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0$ (здесь $p=1 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{1/2}} = 0$ (здесь $p=1/2 > 0$).

Таким образом, искомый предел равен:

$\lim_{n \to \infty} x_n = 6 - 0 - 0 - 0 = 6$.

Ответ: $6$.

в) Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} - \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4}$. Найдем ее предел при $n \to \infty$. Применим свойство предела суммы и разности:

$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} - \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} - \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^3} + \lim_{n \to \infty} \frac{13}{n^4} $.

Все слагаемые представляют собой дроби вида $\frac{c}{n^p}$, где $p > 0$. Предел каждого такого слагаемого при $n \to \infty$ равен нулю:

$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0$ ($p=1 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} = 0$ ($p=2 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^3} = 0$ ($p=3 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{13}{n^4} = 0$ ($p=4 > 0$).

Следовательно, предел всей последовательности:

$\lim_{n \to \infty} x_n = 0 + 0 - 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

г) Дана последовательность $x_n = \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} - 4 + \frac{7}{n^2}$. Для удобства перегруппируем слагаемые: $x_n = -4 + \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} + \frac{7}{n^2}$. Найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$:

$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( -4 + \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} + \frac{7}{n^2} \right) = \lim_{n \to \infty} (-4) + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} + \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} $.

Вычислим пределы каждого слагаемого:

Предел константы: $\lim_{n \to \infty} (-4) = -4$.

Пределы остальных слагаемых равны нулю, так как они имеют вид $\frac{c}{n^p}$ при $p > 0$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ ($p=1 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{1/2}} = 0$ ($p=1/2 > 0$),

$\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} = 0$ ($p=2 > 0$).

Суммируя полученные значения, находим искомый предел:

$\lim_{n \to \infty} x_n = -4 + 0 + 0 + 0 = -4$.

Ответ: $-4$.