Номер 24.30, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.30, страница 83.

24.30 a) $x_n = \frac{5}{2^n};$

Б) $x_n = \frac{1}{2} \cdot 5^{-n};$

В) $x_n = 7 \cdot 3^{-n};$

Г) $x_n = \frac{4}{3^{n+1}}.$

а) $x_n = \frac{5}{2^n}$

Чтобы определить, является ли последовательность $x_n$ геометрической прогрессией, найдем отношение последующего члена к предыдущему, то есть $\frac{x_{n+1}}{x_n}$. Если это отношение является константой (не зависит от $n$), то последовательность является геометрической прогрессией, а это отношение равно ее знаменателю $q$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$x_{n+1} = \frac{5}{2^{n+1}}$

Теперь найдем отношение:

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{5}{2^{n+1}}}{\frac{5}{2^n}} = \frac{5}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{5} = \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{2^n}{2^n \cdot 2^1} = \frac{1}{2}$

Поскольку отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ является постоянным числом $\frac{1}{2}$, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив $n=1$ в формулу для $x_n$:

$b_1 = x_1 = \frac{5}{2^1} = \frac{5}{2}$

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией; первый член $b_1 = \frac{5}{2}$, знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

б) $x_n = \frac{1}{2} \cdot 5^{-n}$

Преобразуем формулу для n-го члена: $x_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5^n} = \frac{1}{2 \cdot 5^n}$.

Найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$x_{n+1} = \frac{1}{2 \cdot 5^{n+1}}$

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{1}{2 \cdot 5^{n+1}}}{\frac{1}{2 \cdot 5^n}} = \frac{1}{2 \cdot 5^{n+1}} \cdot \frac{2 \cdot 5^n}{1} = \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{5^n}{5^n \cdot 5^1} = \frac{1}{5}$

Отношение постоянно и равно $\frac{1}{5}$, следовательно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{5}$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ при $n=1$:

$b_1 = x_1 = \frac{1}{2} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}$

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией; первый член $b_1 = \frac{1}{10}$, знаменатель $q = \frac{1}{5}$.

в) $x_n = 7 \cdot 3^{-n}$

Преобразуем формулу: $x_n = 7 \cdot \frac{1}{3^n} = \frac{7}{3^n}$.

Найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$x_{n+1} = \frac{7}{3^{n+1}}$

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{7}{3^{n+1}}}{\frac{7}{3^n}} = \frac{7}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{7} = \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{3^n}{3^n \cdot 3^1} = \frac{1}{3}$

Отношение постоянно и равно $\frac{1}{3}$, следовательно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{3}$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ при $n=1$:

$b_1 = x_1 = 7 \cdot 3^{-1} = 7 \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией; первый член $b_1 = \frac{7}{3}$, знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

г) $x_n = \frac{4}{3^{n+1}}$

Найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$x_{n+1} = \frac{4}{3^{(n+1)+1}} = \frac{4}{3^{n+2}}$

$q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{4}{3^{n+2}}}{\frac{4}{3^{n+1}}} = \frac{4}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{4} = \frac{3^{n+1}}{3^{n+2}} = \frac{3^{n+1}}{3^{n+1} \cdot 3^1} = \frac{1}{3}$

Отношение постоянно и равно $\frac{1}{3}$, следовательно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{3}$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ при $n=1$:

$b_1 = x_1 = \frac{4}{3^{1+1}} = \frac{4}{3^2} = \frac{4}{9}$

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией; первый член $b_1 = \frac{4}{9}$, знаменатель $q = \frac{1}{3}$.