Номер 24.33, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.33, страница 84.

Вычислите предел последовательности ($y_n$):

24.33 а) $y_n = \frac{(2n + 1)(n - 3)}{n^2};$

б) $y_n = \frac{(3n + 1)(4n - 1)}{(n - 1)^2};$

в) $y_n = \frac{(3n - 2)(2n + 3)}{n^2};$

г) $y_n = \frac{(1 - 2n)(1 + n)}{(n + 2)^2}.$

а)

Чтобы вычислить предел последовательности $y_n = \frac{(2n + 1)(n - 3)}{n^2}$ при $n \to \infty$, для начала раскроем скобки в числителе:

$(2n + 1)(n - 3) = 2n \cdot n - 3 \cdot 2n + 1 \cdot n - 3 = 2n^2 - 6n + n - 3 = 2n^2 - 5n - 3$.

Теперь выражение для $y_n$ выглядит следующим образом:

$y_n = \frac{2n^2 - 5n - 3}{n^2}$.

Для нахождения предела при $n \to \infty$, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень $n$ в знаменателе, то есть на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 5n - 3}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^2}{n^2} - \frac{5n}{n^2} - \frac{3}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{5}{n} - \frac{3}{n^2}}{1}$.

Поскольку при $n \to \infty$ выражения $\frac{5}{n}$ и $\frac{3}{n^2}$ стремятся к нулю, получаем значение предела:

$\frac{2 - 0 - 0}{1} = 2$.

Ответ: 2

б)

Чтобы вычислить предел последовательности $y_n = \frac{(3n + 1)(4n - 1)}{(n - 1)^2}$ при $n \to \infty$, раскроем скобки в числителе и знаменателе:

Числитель: $(3n + 1)(4n - 1) = 12n^2 - 3n + 4n - 1 = 12n^2 + n - 1$.

Знаменатель: $(n - 1)^2 = n^2 - 2n + 1$.

Выражение для $y_n$ принимает вид:

$y_n = \frac{12n^2 + n - 1}{n^2 - 2n + 1}$.

Для нахождения предела при $n \to \infty$, разделим числитель и знаменатель дроби на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{12n^2 + n - 1}{n^2 - 2n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{12n^2}{n^2} + \frac{n}{n^2} - \frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} - \frac{2n}{n^2} + \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{12 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}}{1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}$.

Поскольку при $n \to \infty$ выражения $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n^2}$ и $\frac{2}{n}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{12 + 0 - 0}{1 - 0 + 0} = 12$.

Ответ: 12

в)

Чтобы вычислить предел последовательности $y_n = \frac{(3n - 2)(2n + 3)}{n^2}$ при $n \to \infty$, сначала раскроем скобки в числителе:

$(3n - 2)(2n + 3) = 6n^2 + 9n - 4n - 6 = 6n^2 + 5n - 6$.

Выражение для $y_n$ принимает вид:

$y_n = \frac{6n^2 + 5n - 6}{n^2}$.

Для нахождения предела при $n \to \infty$, разделим числитель и знаменатель дроби на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{6n^2 + 5n - 6}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6n^2}{n^2} + \frac{5n}{n^2} - \frac{6}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{5}{n} - \frac{6}{n^2}}{1}$.

Поскольку при $n \to \infty$ выражения $\frac{5}{n}$ и $\frac{6}{n^2}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{6 + 0 - 0}{1} = 6$.

Ответ: 6

г)

Чтобы вычислить предел последовательности $y_n = \frac{(1 - 2n)(1 + n)}{(n + 2)^2}$ при $n \to \infty$, раскроем скобки в числителе и знаменателе:

Числитель: $(1 - 2n)(1 + n) = 1 + n - 2n - 2n^2 = -2n^2 - n + 1$.

Знаменатель: $(n + 2)^2 = n^2 + 4n + 4$.

Выражение для $y_n$ принимает вид:

$y_n = \frac{-2n^2 - n + 1}{n^2 + 4n + 4}$.

Для нахождения предела при $n \to \infty$, разделим числитель и знаменатель дроби на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-2n^2 - n + 1}{n^2 + 4n + 4} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-2n^2}{n^2} - \frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} + \frac{4n}{n^2} + \frac{4}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{-2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{4}{n} + \frac{4}{n^2}}$.

Поскольку при $n \to \infty$ выражения $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n^2}$, $\frac{4}{n}$ и $\frac{4}{n^2}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{-2 - 0 + 0}{1 + 0 + 0} = -2$.

Ответ: -2