Номер 24.34, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.34, страница 84.

24.34 a) $y_n = \frac{(2n + 1)(3n - 4) - 6n^2 + 12n}{n + 5};$

б) $y_n = \frac{n^2(2n + 5) - 2n^3 + 5n^2 - 13}{n(n + 1)(n - 7) + (1 - n)};$

в) $y_n = \frac{(1 - n)(n^2 + 1) + n^3}{n^2 + 2n};$

г) $y_n = \frac{n(7 - n^2) + n^3 - 3n - 1}{(n + 1)(n + 2) + (2n^2 + 1)}.$

а)

Дана последовательность $y_n = \frac{(2n + 1)(3n - 4) - 6n^2 + 12n}{n + 5}$.

Для решения задачи упростим выражение для $y_n$. Начнем с числителя. Раскроем скобки в произведении:

$(2n + 1)(3n - 4) = 2n \cdot 3n + 2n \cdot (-4) + 1 \cdot 3n + 1 \cdot (-4) = 6n^2 - 8n + 3n - 4 = 6n^2 - 5n - 4$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в числитель и приведем подобные слагаемые:

$(6n^2 - 5n - 4) - 6n^2 + 12n = (6n^2 - 6n^2) + (-5n + 12n) - 4 = 7n - 4$.

Знаменатель $n + 5$ остается без изменений.

Таким образом, упрощенное выражение для $y_n$ имеет вид:

$y_n = \frac{7n - 4}{n + 5}$.

Ответ: $y_n = \frac{7n - 4}{n + 5}$.

б)

Дана последовательность $y_n = \frac{n^2(2n + 5) - 2n^3 + 5n^2 - 13}{n(n + 1)(n - 7) + (1 - n)}$.

Упростим числитель дроби. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n^2(2n + 5) - 2n^3 + 5n^2 - 13 = (2n^3 + 5n^2) - 2n^3 + 5n^2 - 13 = (2n^3 - 2n^3) + (5n^2 + 5n^2) - 13 = 10n^2 - 13$.

Теперь упростим знаменатель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n(n + 1)(n - 7) + (1 - n) = n(n^2 - 7n + n - 7) + 1 - n = n(n^2 - 6n - 7) + 1 - n = n^3 - 6n^2 - 7n + 1 - n = n^3 - 6n^2 - 8n + 1$.

Таким образом, упрощенное выражение для $y_n$ имеет вид:

$y_n = \frac{10n^2 - 13}{n^3 - 6n^2 - 8n + 1}$.

Ответ: $y_n = \frac{10n^2 - 13}{n^3 - 6n^2 - 8n + 1}$.

в)

Дана последовательность $y_n = \frac{(1 - n)(n^2 + 1) + n^3}{n^2 + 2n}$.

Упростим числитель дроби. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(1 - n)(n^2 + 1) + n^3 = (1 \cdot n^2 + 1 \cdot 1 - n \cdot n^2 - n \cdot 1) + n^3 = (n^2 + 1 - n^3 - n) + n^3 = -n^3 + n^3 + n^2 - n + 1 = n^2 - n + 1$.

Знаменатель $n^2 + 2n$ уже представлен в простом виде. Его можно также записать как $n(n+2)$.

Таким образом, упрощенное выражение для $y_n$ имеет вид:

$y_n = \frac{n^2 - n + 1}{n^2 + 2n}$.

Ответ: $y_n = \frac{n^2 - n + 1}{n^2 + 2n}$.

г)

Дана последовательность $y_n = \frac{n(7 - n^2) + n^3 - 3n - 1}{(n + 1)(n + 2) + (2n^2 + 1)}$.

Упростим числитель дроби. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n(7 - n^2) + n^3 - 3n - 1 = (7n - n^3) + n^3 - 3n - 1 = (-n^3 + n^3) + (7n - 3n) - 1 = 4n - 1$.

Теперь упростим знаменатель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(n + 1)(n + 2) + (2n^2 + 1) = (n^2 + 2n + n + 2) + 2n^2 + 1 = (n^2 + 3n + 2) + 2n^2 + 1 = (n^2 + 2n^2) + 3n + (2 + 1) = 3n^2 + 3n + 3$.

Таким образом, упрощенное выражение для $y_n$ имеет вид:

$y_n = \frac{4n - 1}{3n^2 + 3n + 3}$.

Ответ: $y_n = \frac{4n - 1}{3n^2 + 3n + 3}$.