Номер 24.27, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.27, страница 83.

Вычислите $ \lim_{n \to \infty} x_n $, если:

24.27 а) $ x_n = \frac{5}{n^2} $;

Б) $ x_n = \frac{-17}{n^3} $;

В) $ x_n = \frac{-15}{n^2} $;

Г) $ x_n = \frac{3}{\sqrt{n}} $.

а)

Чтобы вычислить предел последовательности $x_n = \frac{5}{n^2}$ при $n \to \infty$, воспользуемся свойством предела частного и свойством вынесения константы за знак предела. $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 5 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} $$ Здесь мы используем известный предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = 0$ для любого $p > 0$. В данном случае $p=2$, что больше нуля. Следовательно, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$. Подставляя это значение в наше выражение, получаем: $$ 5 \cdot 0 = 0 $$ Ответ: $0$

б)

Вычислим предел последовательности $x_n = \frac{-17}{n^3}$ при $n \to \infty$. Вынесем постоянный множитель $-17$ за знак предела: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-17}{n^3} = -17 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} $$ Так как показатель степени в знаменателе $p=3 > 0$, предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3}$ равен нулю. Таким образом, искомый предел равен: $$ -17 \cdot 0 = 0 $$ Ответ: $0$

в)

Вычислим предел последовательности $x_n = \frac{-15}{n^2}$ при $n \to \infty$. Аналогично предыдущим пунктам, вынесем константу $-15$ за знак предела: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-15}{n^2} = -15 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} $$ Поскольку показатель степени $p=2 > 0$, предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}$ равен нулю. Следовательно, получаем: $$ -15 \cdot 0 = 0 $$ Ответ: $0$

г)

Вычислим предел последовательности $x_n = \frac{3}{\sqrt{n}}$ при $n \to \infty$. Перепишем выражение, используя степенное представление корня: $x_n = \frac{3}{n^{1/2}}$. Вынесем константу $3$ за знак предела: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{1/2}} = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1/2}} $$ Здесь показатель степени $p=1/2 > 0$, поэтому предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1/2}}$ равен нулю. Итоговый результат: $$ 3 \cdot 0 = 0 $$ Ответ: $0$