Номер 24.24, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.24, страница 82.

Выясните, какие из приведённых последовательностей являются монотонными. Укажите характер монотонности:

24.24 а) $y_n = 2n - 1;$

б) $y_n = -5^{-n};$

в) $y_n = n^2 + 8;$

г) $y_n = \frac{2}{3n + 1};$

Для выяснения, являются ли последовательности монотонными, и для определения характера их монотонности, мы исследуем знак разности между $(n+1)$-м и $n$-м членами, то есть $y_{n+1} - y_n$. Если эта разность положительна для всех натуральных $n$, последовательность возрастает. Если отрицательна — убывает. Все приведенные последовательности являются монотонными.

a) $y_n = 2n - 1$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$y_{n+1} = 2(n+1) - 1 = 2n + 2 - 1 = 2n + 1$.

Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = (2n + 1) - (2n - 1) = 2$.

Так как разность $y_{n+1} - y_n = 2 > 0$ для любого натурального $n$, то каждый следующий член последовательности больше предыдущего. Следовательно, последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность является монотонной (строго возрастающей).

б) $y_n = -5^{-n}$

Перепишем формулу в виде $y_n = -\frac{1}{5^n}$. Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$y_{n+1} = -5^{-(n+1)} = -\frac{1}{5^{n+1}}$.

Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = \left(-\frac{1}{5^{n+1}}\right) - \left(-\frac{1}{5^n}\right) = \frac{1}{5^n} - \frac{1}{5^{n+1}} = \frac{5 - 1}{5^{n+1}} = \frac{4}{5^{n+1}}$.

Так как $n$ — натуральное число, знаменатель $5^{n+1}$ всегда положителен. Значит, разность $y_{n+1} - y_n = \frac{4}{5^{n+1}} > 0$. Следовательно, последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность является монотонной (строго возрастающей).

в) $y_n = n^2 + 8$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$y_{n+1} = (n+1)^2 + 8 = n^2 + 2n + 1 + 8 = n^2 + 2n + 9$.

Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = (n^2 + 2n + 9) - (n^2 + 8) = 2n + 1$.

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), выражение $2n + 1$ всегда положительно. Значит, разность $y_{n+1} - y_n > 0$. Следовательно, последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность является монотонной (строго возрастающей).

г) $y_n = \frac{2}{3n + 1}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$y_{n+1} = \frac{2}{3(n+1) + 1} = \frac{2}{3n + 4}$.

Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = \frac{2}{3n + 4} - \frac{2}{3n + 1} = \frac{2(3n + 1) - 2(3n + 4)}{(3n + 4)(3n + 1)} = \frac{6n + 2 - 6n - 8}{(3n + 4)(3n + 1)} = \frac{-6}{(3n + 4)(3n + 1)}$.

Так как $n$ — натуральное число, выражения в знаменателе $(3n + 4)$ и $(3n + 1)$ всегда положительны, а значит, и их произведение положительно. Числитель дроби равен $-6$, то есть отрицателен. Таким образом, вся дробь отрицательна: $y_{n+1} - y_n < 0$. Следовательно, последовательность является строго убывающей.

Ответ: последовательность является монотонной (строго убывающей).