Номер 24.19, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.19, страница 81.

24.19 Какие из заданных последовательностей являются ограниченными?

a) $ \cos 1 $, $ \cos 2 $, $ \cos 3 $, ..., $ \cos n $, ...

б) $ \frac{\sin 1}{1} $, $ \frac{\sin 2}{2} $, $ \frac{\sin 3}{3} $, ..., $ \frac{(-1)^{n-1} \sin n}{n} $, ...

в) $ \mathrm{tg} \frac{\pi}{4} $, $ \mathrm{tg} \frac{3\pi}{4} $, $ \mathrm{tg} \frac{5\pi}{4} $, ..., $ \mathrm{tg} \frac{\pi}{4} (2n - 1) $, ...

г) $ \mathrm{ctg} \frac{\pi}{2} $, $ \mathrm{ctg} \frac{\pi}{3} $, $ \mathrm{ctg} \frac{\pi}{4} $, ..., $ \mathrm{ctg} \frac{\pi}{n + 1} $, ...

а) Последовательность задана формулой общего члена $a_n = \cos n$. Область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного аргумента $x$, выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$.

Следовательно, для любого натурального числа $n$ справедливо двойное неравенство $-1 \le \cos n \le 1$. Это означает, что все члены последовательности находятся в пределах от -1 до 1. По определению, последовательность является ограниченной. Например, можно взять число $M=1$, и тогда для всех $n$ будет выполняться $|a_n| = |\cos n| \le 1$.

Ответ: последовательность является ограниченной.

б) Последовательность задана формулой общего члена $a_n = \frac{(-1)^{n-1}\sin n}{n}$. Для определения ограниченности последовательности рассмотрим модуль ее общего члена:

$|a_n| = \left| \frac{(-1)^{n-1}\sin n}{n} \right| = \frac{|(-1)^{n-1}| \cdot |\sin n|}{|n|}$

Поскольку $n$ — натуральное число, $|n|=n$. Также $|(-1)^{n-1}| = 1$. Таким образом, $|a_n| = \frac{|\sin n|}{n}$.

Функция синус ограничена, и для любого $n$ выполняется неравенство $|\sin n| \le 1$. Следовательно, $|a_n| \le \frac{1}{n}$. Так как $n \ge 1$, то $\frac{1}{n} \le 1$.

В итоге, для любого натурального $n$ имеем $|a_n| \le 1$. Это означает, что последовательность ограничена (например, числом $M=1$).

Ответ: последовательность является ограниченной.

в) Последовательность задана формулой общего члена $a_n = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2n-1)\right)$. Вычислим несколько первых членов последовательности, чтобы понять ее поведение:

При $n=1$: $a_1 = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2\cdot1-1)\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

При $n=2$: $a_2 = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2\cdot2-1)\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$.

При $n=3$: $a_3 = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2\cdot3-1)\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

При $n=4$: $a_4 = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}(2\cdot4-1)\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$.

Таким образом, последовательность представляет собой чередование чисел 1 и -1: $1, -1, 1, -1, \dots$. Все члены этой последовательности принадлежат множеству $\{-1, 1\}$. Следовательно, для любого $n$ выполняется $|a_n| = 1$, что означает, что последовательность ограничена числом $M=1$.

Ответ: последовательность является ограниченной.

г) Последовательность задана формулой общего члена $a_n = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{n+1}\right)$. Рассмотрим поведение общего члена при $n \to \infty$.

Аргумент котангенса $x_n = \frac{\pi}{n+1}$. При $n \to \infty$, знаменатель $n+1 \to \infty$, а значит, сам аргумент $x_n \to 0$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n+1 > 0$, и аргумент стремится к нулю с положительной стороны ($x_n \to 0^+$).

Найдем предел последовательности: $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{n+1}\right)$. Так как $\operatorname{ctg}(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$, а при $x \to 0^+$ имеем $\cos(x) \to 1$ и $\sin(x) \to 0$ (причем $\sin(x) > 0$), то предел котангенса равен бесконечности:

$\lim_{x\to0^+} \operatorname{ctg}(x) = +\infty$

Поскольку предел последовательности равен $+\infty$, это означает, что последовательность не ограничена сверху. Для любого сколь угодно большого числа $M$ можно найти такой номер $N$, что все члены последовательности с номерами $n > N$ будут больше $M$. Следовательно, последовательность не является ограниченной.

Ответ: последовательность не является ограниченной.