Номер 24.12, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.12, страница 80.

Запишите первые пять членов последовательности:

24.12 а) $y_n = \sin \frac{n\pi}{2} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}(2n + 1)$

б) $y_n = \cos \frac{n\pi}{2} + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}(2n + 1)$

в) $y_n = n \sin \frac{n\pi}{2} + n^2 \cos \frac{n\pi}{2}$

г) $y_n = \sin \frac{n\pi}{4} - n \cos \frac{n\pi}{4}$

а) Для последовательности $y_n = \sin\frac{n\pi}{2} - \ctg\frac{\pi}{4}(2n + 1)$ найдем первые пять членов, подставляя последовательно значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

При $n=1$: $y_1 = \sin\frac{1 \cdot \pi}{2} - \ctg\frac{\pi}{4}(2\cdot1 + 1) = \sin\frac{\pi}{2} - \ctg\frac{3\pi}{4} = 1 - (-1) = 2$.
При $n=2$: $y_2 = \sin\frac{2\pi}{2} - \ctg\frac{\pi}{4}(2\cdot2 + 1) = \sin\pi - \ctg\frac{5\pi}{4} = \sin\pi - \ctg(\pi + \frac{\pi}{4}) = 0 - 1 = -1$.
При $n=3$: $y_3 = \sin\frac{3\pi}{2} - \ctg\frac{\pi}{4}(2\cdot3 + 1) = \sin\frac{3\pi}{2} - \ctg\frac{7\pi}{4} = \sin\frac{3\pi}{2} - \ctg(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -1 - (-1) = 0$.
При $n=4$: $y_4 = \sin\frac{4\pi}{2} - \ctg\frac{\pi}{4}(2\cdot4 + 1) = \sin(2\pi) - \ctg\frac{9\pi}{4} = \sin(2\pi) - \ctg(2\pi + \frac{\pi}{4}) = 0 - 1 = -1$.
При $n=5$: $y_5 = \sin\frac{5\pi}{2} - \ctg\frac{\pi}{4}(2\cdot5 + 1) = \sin\frac{5\pi}{2} - \ctg\frac{11\pi}{4} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) - \ctg(2\pi + \frac{3\pi}{4}) = 1 - (-1) = 2$.

Ответ: $2; -1; 0; -1; 2$.

б) Для последовательности $y_n = \cos\frac{n\pi}{2} + \tg\frac{\pi}{4}(2n + 1)$ найдем первые пять членов.

При $n=1$: $y_1 = \cos\frac{1 \cdot \pi}{2} + \tg\frac{\pi}{4}(2\cdot1 + 1) = \cos\frac{\pi}{2} + \tg\frac{3\pi}{4} = 0 + (-1) = -1$.
При $n=2$: $y_2 = \cos\frac{2\pi}{2} + \tg\frac{\pi}{4}(2\cdot2 + 1) = \cos\pi + \tg\frac{5\pi}{4} = \cos\pi + \tg(\pi + \frac{\pi}{4}) = -1 + 1 = 0$.
При $n=3$: $y_3 = \cos\frac{3\pi}{2} + \tg\frac{\pi}{4}(2\cdot3 + 1) = \cos\frac{3\pi}{2} + \tg\frac{7\pi}{4} = \cos\frac{3\pi}{2} + \tg(2\pi - \frac{\pi}{4}) = 0 + (-1) = -1$.
При $n=4$: $y_4 = \cos\frac{4\pi}{2} + \tg\frac{\pi}{4}(2\cdot4 + 1) = \cos(2\pi) + \tg\frac{9\pi}{4} = \cos(2\pi) + \tg(2\pi + \frac{\pi}{4}) = 1 + 1 = 2$.
При $n=5$: $y_5 = \cos\frac{5\pi}{2} + \tg\frac{\pi}{4}(2\cdot5 + 1) = \cos\frac{5\pi}{2} + \tg\frac{11\pi}{4} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) + \tg(2\pi + \frac{3\pi}{4}) = 0 + (-1) = -1$.

Ответ: $-1; 0; -1; 2; -1$.

в) Для последовательности $y_n = n \sin\frac{n\pi}{2} + n^2 \cos\frac{n\pi}{2}$ найдем первые пять членов.

При $n=1$: $y_1 = 1 \cdot \sin\frac{1 \cdot \pi}{2} + 1^2 \cdot \cos\frac{1 \cdot \pi}{2} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1$.
При $n=2$: $y_2 = 2 \cdot \sin\frac{2\pi}{2} + 2^2 \cdot \cos\frac{2\pi}{2} = 2 \cdot \sin\pi + 4 \cdot \cos\pi = 2 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = -4$.
При $n=3$: $y_3 = 3 \cdot \sin\frac{3\pi}{2} + 3^2 \cdot \cos\frac{3\pi}{2} = 3 \cdot (-1) + 9 \cdot 0 = -3$.
При $n=4$: $y_4 = 4 \cdot \sin\frac{4\pi}{2} + 4^2 \cdot \cos\frac{4\pi}{2} = 4 \cdot \sin(2\pi) + 16 \cdot \cos(2\pi) = 4 \cdot 0 + 16 \cdot 1 = 16$.
При $n=5$: $y_5 = 5 \cdot \sin\frac{5\pi}{2} + 5^2 \cdot \cos\frac{5\pi}{2} = 5 \cdot \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) + 25 \cdot \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = 5 \cdot 1 + 25 \cdot 0 = 5$.

Ответ: $1; -4; -3; 16; 5$.

г) Для последовательности $y_n = \sin\frac{n\pi}{4} - n \cos\frac{n\pi}{4}$ найдем первые пять членов.

При $n=1$: $y_1 = \sin\frac{1 \cdot \pi}{4} - 1 \cdot \cos\frac{1 \cdot \pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$.
При $n=2$: $y_2 = \sin\frac{2\pi}{4} - 2 \cdot \cos\frac{2\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{2} - 2\cos\frac{\pi}{2} = 1 - 2 \cdot 0 = 1$.
При $n=3$: $y_3 = \sin\frac{3\pi}{4} - 3 \cdot \cos\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
При $n=4$: $y_4 = \sin\frac{4\pi}{4} - 4 \cdot \cos\frac{4\pi}{4} = \sin\pi - 4\cos\pi = 0 - 4(-1) = 4$.
При $n=5$: $y_5 = \sin\frac{5\pi}{4} - 5 \cdot \cos\frac{5\pi}{4} = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) - 5\cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - 5 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $0; 1; 2\sqrt{2}; 4; 2\sqrt{2}$.