Номер 24.9, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.9, страница 80.

24.9 Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $\sqrt{2}$:

а) по недостатку;

б) по избытку.

Для решения задачи необходимо знать десятичное разложение числа $ \sqrt{2} $. Это иррациональное число, и его десятичное представление представляет собой бесконечную непериодическую дробь:

$ \sqrt{2} \approx 1,41421356... $

а) по недостатку;

Последовательность десятичных приближений по недостатку (или округление "вниз") формируется путем отбрасывания всех цифр после определенного разряда. Для числа $ \sqrt{2} \approx 1,4142... $ имеем:

1. Первый член (приближение с точностью до целых, или $ 10^0 $): отбрасываем дробную часть числа $ 1,4142... $, получаем 1. Это наибольшее целое число, которое не превосходит $ \sqrt{2} $, так как $ 1 < \sqrt{2} < 2 $.
2. Второй член (приближение с точностью до десятых, или $ 10^{-1} $): отбрасываем все цифры после первого знака после запятой в числе $ 1,4142... $, получаем 1,4. Это наибольшее число с одним знаком после запятой, которое не превосходит $ \sqrt{2} $, так как $ 1,4 < \sqrt{2} < 1,5 $.
3. Третий член (приближение с точностью до сотых, или $ 10^{-2} $): отбрасываем все цифры после второго знака после запятой в числе $ 1,4142... $, получаем 1,41. Это наибольшее число с двумя знаками после запятой, которое не превосходит $ \sqrt{2} $, так как $ 1,41 < \sqrt{2} < 1,42 $.
4. Четвертый член (приближение с точностью до тысячных, или $ 10^{-3} $): отбрасываем все цифры после третьего знака после запятой в числе $ 1,4142... $, получаем 1,414. Это наибольшее число с тремя знаками после запятой, которое не превосходит $ \sqrt{2} $, так как $ 1,414 < \sqrt{2} < 1,415 $.

Ответ: 1; 1,4; 1,41; 1,414.

б) по избытку.

Последовательность десятичных приближений по избытку (или округление "вверх") формируется путем увеличения последней цифры приближения по недостатку на единицу.

1. Первый член (приближение с точностью до целых, или $ 10^0 $): берем соответствующее приближение по недостатку (1) и прибавляем 1 ($ 10^0 $). Получаем $ 1 + 1 = 2 $. Это наименьшее целое число, которое больше $ \sqrt{2} $.
2. Второй член (приближение с точностью до десятых, или $ 10^{-1} $): берем соответствующее приближение по недостатку (1,4) и прибавляем 0,1 ($ 10^{-1} $). Получаем $ 1,4 + 0,1 = 1,5 $. Это наименьшее число с одним знаком после запятой, которое больше $ \sqrt{2} $.
3. Третий член (приближение с точностью до сотых, или $ 10^{-2} $): берем соответствующее приближение по недостатку (1,41) и прибавляем 0,01 ($ 10^{-2} $). Получаем $ 1,41 + 0,01 = 1,42 $. Это наименьшее число с двумя знаками после запятой, которое больше $ \sqrt{2} $.
4. Четвертый член (приближение с точностью до тысячных, или $ 10^{-3} $): берем соответствующее приближение по недостатку (1,414) и прибавляем 0,001 ($ 10^{-3} $). Получаем $ 1,414 + 0,001 = 1,415 $. Это наименьшее число с тремя знаками после запятой, которое больше $ \sqrt{2} $.

Ответ: 2; 1,5; 1,42; 1,415.