Номер 24.13, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.13, страница 80.

24.13 a) $y_n = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}{n^3 + 1}$

б) $y_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}$

Предполагается, что задача состоит в исследовании сходимости данных последовательностей, то есть в нахождении их пределов при $n \to \infty$.

а)

Дана последовательность $y_n = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}{n^3 + 1}$. Эту последовательность можно записать с использованием факториала: $y_n = \frac{n!}{n^3 + 1}$. Для нахождения предела $\lim_{n \to \infty} y_n$ воспользуемся признаком Даламбера для последовательностей. Если $\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n+1}}{y_n} = L > 1$, то последовательность расходится к $+\infty$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $y_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^3 + 1}$.

Теперь составим отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n}$: $\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^3+1} : \frac{n!}{n^3+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^3+1} \cdot \frac{n^3+1}{n!}$.

Учитывая, что $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$, упростим выражение: $\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{(n+1) \cdot n!}{(n+1)^3+1} \cdot \frac{n^3+1}{n!} = \frac{(n+1)(n^3+1)}{(n+1)^3+1}$.

Вычислим предел этого отношения при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n+1}}{y_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n^3+1)}{(n+1)^3+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^4+n^3+n+1}{n^3+3n^2+3n+2}$.

Для нахождения этого предела разделим числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя, то есть на $n^3$: $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^4}{n^3}+\frac{n^3}{n^3}+\frac{n}{n^3}+\frac{1}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3}+\frac{3n^2}{n^3}+\frac{3n}{n^3}+\frac{2}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{1+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{2}{n^3}}$.

При $n \to \infty$ числитель стремится к $\infty$, а знаменатель стремится к $1$: $\frac{\infty+1+0+0}{1+0+0+0} = \infty$.

Поскольку предел отношения $\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n+1}}{y_n} = \infty$, что больше 1, последовательность $y_n$ расходится. Так как все члены последовательности $y_n$ положительны, она стремится к $+\infty$.

Ответ: $\lim_{n \to \infty} y_n = +\infty$.

б)

Дана последовательность $y_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}$. Исследуем её на сходимость.

Все члены последовательности $y_n$ являются произведением положительных чисел, следовательно, $y_n > 0$ для всех $n \ge 1$. Это означает, что последовательность ограничена снизу нулём.

Проверим монотонность последовательности. Сравним $y_{n+1}$ и $y_n$. $y_{n+1} = \frac{1 \cdot 3 \cdots (2n-1) \cdot (2(n+1)-1)}{2 \cdot 4 \cdots 2n \cdot (2(n+1))} = \frac{1 \cdot 3 \cdots (2n-1) \cdot (2n+1)}{2 \cdot 4 \cdots 2n \cdot (2n+2)} = y_n \cdot \frac{2n+1}{2n+2}$.

Так как $2n+1 < 2n+2$, то множитель $\frac{2n+1}{2n+2} < 1$. Следовательно, $y_{n+1} < y_n$. Последовательность является строго убывающей.

Поскольку последовательность $y_n$ убывает и ограничена снизу (например, нулём), по теореме Вейерштрасса о монотонной и ограниченной последовательности она имеет предел. Обозначим этот предел $L = \lim_{n \to \infty} y_n$.

Для нахождения значения предела $L$ оценим $y_n$ сверху. Возведём $y_n$ в квадрат: $y_n^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdots \left(\frac{2n-1}{2n}\right)^2$.

Воспользуемся неравенством $\frac{2k-1}{2k} < \frac{2k}{2k+1}$, которое справедливо для всех $k \ge 1$, так как $(2k-1)(2k+1) = 4k^2-1 < (2k)^2 = 4k^2$.

Заменим один из сомножителей в каждом члене $y_n^2$: $y_n^2 = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}\right) \cdots \left(\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-1}{2n}\right) < \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\right) \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}\right) \cdots \left(\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n}{2n+1}\right)$.

В правой части неравенства мы получили телескопическое произведение: $\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}\right) \cdots \left(\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n}{2n+1}\right) = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots (2n-1) \cdot 2n}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots 2n \cdot (2n+1)} = \frac{1}{2n+1}$.

Таким образом, мы получили двойное неравенство для $y_n^2$: $0 < y_n^2 < \frac{1}{2n+1}$.

Перейдём к пределу при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} 0 \le \lim_{n \to \infty} y_n^2 \le \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n+1}$. $0 \le \lim_{n \to \infty} y_n^2 \le 0$.

По теореме о двух милиционерах (теореме о сжатии), $\lim_{n \to \infty} y_n^2 = 0$. Так как $y_n > 0$, то предел самой последовательности $y_n$ также равен нулю: $\lim_{n \to \infty} y_n = \sqrt{0} = 0$.

Ответ: $\lim_{n \to \infty} y_n = 0$.