Номер 24.7, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.7, страница 80.

24.7 a) $3, 9, 27, 81, 243, \dots;$

б) $9, 16, 25, 36, 49, \dots;$

В) $1, 8, 27, 64, 125, \dots;$

Г) $2, 9, 28, 65, 126, \dots$

а) Дана последовательность: 3, 9, 27, 81, 243, ...
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
$a_1 = 3 = 3^1$
$a_2 = 9 = 3^2$
$a_3 = 27 = 3^3$
$a_4 = 81 = 3^4$
$a_5 = 243 = 3^5$
Каждый член этой последовательности является степенью числа 3, причем показатель степени равен номеру члена последовательности. Таким образом, формула n-го члена имеет вид $a_n = 3^n$.
Ответ: $a_n = 3^n$.

б) Дана последовательность: 9, 16, 25, 36, 49, ...
Обозначим n-й член последовательности как $b_n$.
Заметим, что все члены последовательности являются квадратами целых чисел.
$b_1 = 9 = 3^2 = (1+2)^2$
$b_2 = 16 = 4^2 = (2+2)^2$
$b_3 = 25 = 5^2 = (3+2)^2$
$b_4 = 36 = 6^2 = (4+2)^2$
$b_5 = 49 = 7^2 = (5+2)^2$
Можно заметить, что n-й член последовательности равен квадрату числа, которое на 2 больше, чем номер члена $n$. Следовательно, формула n-го члена имеет вид $b_n = (n+2)^2$.
Ответ: $b_n = (n+2)^2$.

в) Дана последовательность: 1, 8, 27, 64, 125, ...
Обозначим n-й член последовательности как $c_n$.
Члены этой последовательности являются кубами натуральных чисел.
$c_1 = 1 = 1^3$
$c_2 = 8 = 2^3$
$c_3 = 27 = 3^3$
$c_4 = 64 = 4^3$
$c_5 = 125 = 5^3$
Таким образом, n-й член последовательности равен кубу своего номера $n$. Формула n-го члена имеет вид $c_n = n^3$.
Ответ: $c_n = n^3$.

г) Дана последовательность: 2, 9, 28, 65, 126, ...
Обозначим n-й член последовательности как $d_n$.
Сравним эту последовательность с последовательностью кубов натуральных чисел из предыдущего пункта (1, 8, 27, 64, 125, ...).
$d_1 = 2 = 1^3 + 1$
$d_2 = 9 = 2^3 + 1$
$d_3 = 28 = 3^3 + 1$
$d_4 = 65 = 4^3 + 1$
$d_5 = 126 = 5^3 + 1$
Каждый член данной последовательности на единицу больше соответствующего члена последовательности кубов натуральных чисел. Значит, формула n-го члена имеет вид $d_n = n^3 + 1$.
Ответ: $d_n = n^3 + 1$.