Номер 24.3, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

24.3 a) $y_n = 3 \cos \frac{2\pi}{n}$;

б) $y_n = \operatorname{tg} \left( (-1)^n \frac{\pi}{4} \right)$;

В) $y_n = 1 - \cos^2 \frac{\pi}{n}$;

Г) $y_n = \sin \pi n - \cos \pi n$.

а) Чтобы найти предел последовательности $y_n = 3 \cos \frac{2\pi}{n}$ при $n \to \infty$, рассмотрим поведение аргумента косинуса. При $n \to \infty$, дробь $\frac{2\pi}{n}$ стремится к нулю. Так как функция $f(x) = \cos x$ является непрерывной в точке $x=0$, мы можем внести знак предела под знак функции:

$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} 3 \cos \frac{2\pi}{n} = 3 \cdot \cos \left( \lim_{n \to \infty} \frac{2\pi}{n} \right)$

Поскольку $\lim_{n \to \infty} \frac{2\pi}{n} = 0$, а $\cos(0) = 1$, получаем:

$\lim_{n \to \infty} y_n = 3 \cdot \cos(0) = 3 \cdot 1 = 3$

Ответ: 3

б) Рассмотрим последовательность $y_n = \text{tg} \left( (-1)^n \frac{\pi}{4} \right)$. Значение выражения $(-1)^n$ зависит от четности $n$.

1. Если $n$ — четное число, то есть $n=2k$ для некоторого целого $k$, то $(-1)^n = (-1)^{2k} = 1$. Тогда член последовательности равен:

$y_{2k} = \text{tg} \left( 1 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \text{tg} \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$

Подпоследовательность, состоящая из членов с четными номерами, сходится к 1.

2. Если $n$ — нечетное число, то есть $n=2k+1$ для некоторого целого $k$, то $(-1)^n = (-1)^{2k+1} = -1$. Тогда член последовательности равен:

$y_{2k+1} = \text{tg} \left( -1 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \text{tg} \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$

Подпоследовательность, состоящая из членов с нечетными номерами, сходится к -1.

Поскольку существуют две подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам (1 и -1), исходная последовательность $y_n$ не имеет предела, то есть расходится.

Ответ: предел не существует

в) Дана последовательность $y_n = 1 - \cos^2 \frac{\pi}{n}$. Для ее решения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.

Таким образом, $y_n = \sin^2 \frac{\pi}{n}$.

Найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \sin^2 \frac{\pi}{n}$

При $n \to \infty$ аргумент синуса $\frac{\pi}{n}$ стремится к 0. Функция $f(x) = \sin x$ непрерывна в точке $x=0$, поэтому:

$\lim_{n \to \infty} \sin \frac{\pi}{n} = \sin \left(\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n}\right) = \sin(0) = 0$

Так как функция $g(z) = z^2$ также непрерывна, предел квадрата равен квадрату предела:

$\lim_{n \to \infty} \sin^2 \frac{\pi}{n} = \left(\lim_{n \to \infty} \sin \frac{\pi}{n}\right)^2 = 0^2 = 0$

Ответ: 0

г) Рассмотрим последовательность $y_n = \sin(\pi n) - \cos(\pi n)$, где $n$ — натуральное число.

Для любого целого $n$, значение $\sin(\pi n)$ равно 0.

Значение $\cos(\pi n)$ зависит от четности $n$:

• Если $n$ — четное ($n=2k$), то $\cos(\pi n) = \cos(2\pi k) = 1$.

• Если $n$ — нечетное ($n=2k+1$), то $\cos(\pi n) = \cos((2k+1)\pi) = -1$.

Таким образом, $\cos(\pi n) = (-1)^n$.

Тогда последовательность $y_n$ можно записать как $y_n = 0 - (-1)^n = -(-1)^n$.

Рассмотрим подпоследовательности для четных и нечетных $n$:

1. Для четных $n$: $y_n = -(-1)^n = -(1) = -1$. Эта подпоследовательность сходится к -1.

2. Для нечетных $n$: $y_n = -(-1)^n = -(-1) = 1$. Эта подпоследовательность сходится к 1.

Так как у последовательности есть две подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам, сама последовательность $y_n$ предела не имеет.

Ответ: предел не существует