Номер 24.10, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.10, страница 80.

24.10 Укажите номер члена последовательности $y_n = \frac{2 - n}{5n + 1}$, равного:

а) 0;

б) $-\frac{3}{26}$;

в) $-\frac{1}{6}$;

г) $-\frac{43}{226}$.

Для нахождения номера члена последовательности $y_n = \frac{2 - n}{5n + 1}$, равного заданному значению, необходимо решить уравнение, приравняв формулу $y_n$ к этому значению. Важно помнить, что номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

а) 0
Приравняем $y_n$ к 0:
$\frac{2 - n}{5n + 1} = 0$
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
$2 - n = 0 \implies n = 2$
Проверим знаменатель при $n = 2$: $5 \cdot 2 + 1 = 11 \neq 0$.
Поскольку $n=2$ является натуральным числом, это и есть искомый номер члена последовательности.
Ответ: 2.

б) $-\frac{3}{26}$
Приравняем $y_n$ к $-\frac{3}{26}$:
$\frac{2 - n}{5n + 1} = -\frac{3}{26}$
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$26(2 - n) = -3(5n + 1)$
$52 - 26n = -15n - 3$
$52 + 3 = 26n - 15n$
$55 = 11n$
$n = \frac{55}{11}$
$n = 5$
$n=5$ является натуральным числом.
Ответ: 5.

в) $-\frac{1}{6}$
Приравняем $y_n$ к $-\frac{1}{6}$:
$\frac{2 - n}{5n + 1} = -\frac{1}{6}$
$6(2 - n) = -1(5n + 1)$
$12 - 6n = -5n - 1$
$12 + 1 = 6n - 5n$
$n = 13$
$n=13$ является натуральным числом.
Ответ: 13.

г) $-\frac{43}{226}$
Приравняем $y_n$ к $-\frac{43}{226}$:
$\frac{2 - n}{5n + 1} = -\frac{43}{226}$
$226(2 - n) = -43(5n + 1)$
$452 - 226n = -215n - 43$
$452 + 43 = 226n - 215n$
$495 = 11n$
$n = \frac{495}{11}$
$n = 45$
$n=45$ является натуральным числом.
Ответ: 45.