Номер 24.14, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.14, страница 81.

24.14 а) $x_1 = 2, x_n = 5 - x_{n-1};$

б) $x_1 = 2, x_n = x_{n-1} + 10;$

В) $x_1 = -1, x_n = 2 + x_{n-1};$

Г) $x_1 = 4, x_n = x_{n-1} - 3.$

а) Последовательность задана рекуррентной формулой $x_n = 5 - x_{n-1}$ и первым членом $x_1 = 2$.
Найдем несколько первых членов последовательности, последовательно подставляя n = 2, 3, 4, ...:
$x_1 = 2$
$x_2 = 5 - x_1 = 5 - 2 = 3$
$x_3 = 5 - x_2 = 5 - 3 = 2$
$x_4 = 5 - x_3 = 5 - 2 = 3$
$x_5 = 5 - x_4 = 5 - 3 = 2$
Получаем последовательность: 2, 3, 2, 3, 2, ...
Проверим, является ли эта последовательность арифметической прогрессией. Для этого найдем разность между соседними членами:
$x_2 - x_1 = 3 - 2 = 1$
$x_3 - x_2 = 2 - 3 = -1$
Разность не является постоянной, значит, это не арифметическая прогрессия.
Проверим, является ли она геометрической прогрессией. Для этого найдем отношение соседних членов:
$x_2 / x_1 = 3 / 2 = 1.5$
$x_3 / x_2 = 2 / 3$
Отношение не является постоянным, значит, это не геометрическая прогрессия.
Данная последовательность является периодической с периодом 2, где члены с нечетными номерами равны 2, а с четными - 3.
Ответ: Последовательность не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией. Это периодическая последовательность, состоящая из чередующихся чисел 2 и 3.

б) Последовательность задана рекуррентной формулой $x_n = x_{n-1} + 10$ и первым членом $x_1 = 2$.
Найдем несколько первых членов последовательности:
$x_1 = 2$
$x_2 = x_1 + 10 = 2 + 10 = 12$
$x_3 = x_2 + 10 = 12 + 10 = 22$
$x_4 = x_3 + 10 = 22 + 10 = 32$
Получаем последовательность: 2, 12, 22, 32, ...
Рекуррентная формула $x_n = x_{n-1} + 10$ показывает, что каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа 10. Это определение арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = x_1 = 2$, разность прогрессии $d = 10$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим наши значения: $x_n = 2 + (n-1) \cdot 10 = 2 + 10n - 10 = 10n - 8$.
Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $x_1 = 2$ и разностью $d = 10$. Формула n-го члена: $x_n = 10n - 8$.

в) Последовательность задана рекуррентной формулой $x_n = 2 + x_{n-1}$ и первым членом $x_1 = -1$.
Найдем несколько первых членов последовательности:
$x_1 = -1$
$x_2 = 2 + x_1 = 2 + (-1) = 1$
$x_3 = 2 + x_2 = 2 + 1 = 3$
$x_4 = 2 + x_3 = 2 + 3 = 5$
Получаем последовательность: -1, 1, 3, 5, ...
Рекуррентная формула $x_n = x_{n-1} + 2$ показывает, что каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением числа 2. Это определение арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = x_1 = -1$, разность прогрессии $d = 2$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим наши значения: $x_n = -1 + (n-1) \cdot 2 = -1 + 2n - 2 = 2n - 3$.
Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $x_1 = -1$ и разностью $d = 2$. Формула n-го члена: $x_n = 2n - 3$.

г) Последовательность задана рекуррентной формулой $x_n = x_{n-1} - 3$ и первым членом $x_1 = 4$.
Найдем несколько первых членов последовательности:
$x_1 = 4$
$x_2 = x_1 - 3 = 4 - 3 = 1$
$x_3 = x_2 - 3 = 1 - 3 = -2$
$x_4 = x_3 - 3 = -2 - 3 = -5$
Получаем последовательность: 4, 1, -2, -5, ...
Рекуррентная формула $x_n = x_{n-1} - 3$ показывает, что каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением числа -3. Это определение арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = x_1 = 4$, разность прогрессии $d = -3$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим наши значения: $x_n = 4 + (n-1) \cdot (-3) = 4 - 3n + 3 = 7 - 3n$.
Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $x_1 = 4$ и разностью $d = -3$. Формула n-го члена: $x_n = 7 - 3n$.