Номер 24.17, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.17, страница 81.

24.17 Постройте график последовательности:

a) $y_n = 10 - n^3$;

б) $y_n = (-1)^n \sqrt{9n}$;

В) $y_n = n^3 - 8$;

Г) $y_n = 4 - \sqrt{4n}$.

Для построения графика последовательности необходимо найти координаты нескольких первых ее членов. График последовательности представляет собой множество отдельных (изолированных) точек на координатной плоскости с координатами $(n, y_n)$, где $n$ — натуральное число (номер члена последовательности), а $y_n$ — значение этого члена.

а) $y_n = 10 - n^3$

Вычислим значения первых нескольких членов последовательности:

• При $n=1$: $y_1 = 10 - 1^3 = 10 - 1 = 9$. Координаты точки: $(1, 9)$.
• При $n=2$: $y_2 = 10 - 2^3 = 10 - 8 = 2$. Координаты точки: $(2, 2)$.
• При $n=3$: $y_3 = 10 - 3^3 = 10 - 27 = -17$. Координаты точки: $(3, -17)$.
• При $n=4$: $y_4 = 10 - 4^3 = 10 - 64 = -54$. Координаты точки: $(4, -54)$.

График представляет собой набор точек, которые лежат на кубической параболе $y = 10 - x^3$. С увеличением $n$ значения $y_n$ очень быстро убывают.

Ответ: График последовательности — это множество точек с координатами $(1, 9), (2, 2), (3, -17), (4, -54), \dots$, которые расположены на координатной плоскости.

б) $y_n = (-1)^n\sqrt{9n}$

Эта последовательность является знакочередующейся, так как множитель $(-1)^n$ меняет знак каждого следующего члена. Вычислим первые члены:

• При $n=1$: $y_1 = (-1)^1\sqrt{9 \cdot 1} = -1 \cdot 3 = -3$. Координаты точки: $(1, -3)$.
• При $n=2$: $y_2 = (-1)^2\sqrt{9 \cdot 2} = 1 \cdot \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.24$. Координаты точки: $(2, 3\sqrt{2})$.
• При $n=3$: $y_3 = (-1)^3\sqrt{9 \cdot 3} = -1 \cdot \sqrt{27} = -3\sqrt{3} \approx -5.20$. Координаты точки: $(3, -3\sqrt{3})$.
• При $n=4$: $y_4 = (-1)^4\sqrt{9 \cdot 4} = 1 \cdot \sqrt{36} = 6$. Координаты точки: $(4, 6)$.

Точки графика поочередно располагаются ниже и выше оси абсцисс. При нечетных $n$ точки находятся в IV координатной четверти, при четных $n$ — в I. Абсолютное значение членов последовательности, $|y_n| = 3\sqrt{n}$, возрастает с ростом $n$.

Ответ: График последовательности — это множество точек с координатами $(1, -3), (2, 3\sqrt{2}), (3, -3\sqrt{3}), (4, 6), \dots$, которые поочередно меняют знак.

в) $y_n = n^3 - 8$

Вычислим значения первых нескольких членов последовательности:

• При $n=1$: $y_1 = 1^3 - 8 = 1 - 8 = -7$. Координаты точки: $(1, -7)$.
• При $n=2$: $y_2 = 2^3 - 8 = 8 - 8 = 0$. Координаты точки: $(2, 0)$.
• При $n=3$: $y_3 = 3^3 - 8 = 27 - 8 = 19$. Координаты точки: $(3, 19)$.
• При $n=4$: $y_4 = 4^3 - 8 = 64 - 8 = 56$. Координаты точки: $(4, 56)$.

График состоит из точек, лежащих на кривой $y = x^3 - 8$. Второй член последовательности равен нулю, поэтому точка $(2, 0)$ лежит на оси абсцисс. С увеличением $n$ значения $y_n$ быстро возрастают.

Ответ: График последовательности — это множество точек с координатами $(1, -7), (2, 0), (3, 19), (4, 56), \dots$.

г) $y_n = 4 - \sqrt{4n}$

Формулу можно упростить: $y_n = 4 - 2\sqrt{n}$. Вычислим первые члены:

• При $n=1$: $y_1 = 4 - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2$. Координаты точки: $(1, 2)$.
• При $n=2$: $y_2 = 4 - 2\sqrt{2} \approx 4 - 2.83 = 1.17$. Координаты точки: $(2, 4-2\sqrt{2})$.
• При $n=3$: $y_3 = 4 - 2\sqrt{3} \approx 4 - 3.46 = 0.54$. Координаты точки: $(3, 4-2\sqrt{3})$.
• При $n=4$: $y_4 = 4 - 2\sqrt{4} = 4 - 4 = 0$. Координаты точки: $(4, 0)$.
• При $n=5$: $y_5 = 4 - 2\sqrt{5} \approx 4 - 4.47 = -0.47$. Координаты точки: $(5, 4-2\sqrt{5})$.

Точки графика лежат на кривой $y = 4 - 2\sqrt{x}$. Последовательность является убывающей. Четвертый член равен нулю, поэтому точка $(4, 0)$ лежит на оси абсцисс. При $n>4$ члены последовательности становятся отрицательными.

Ответ: График последовательности — это множество точек с координатами $(1, 2), (2, 4-2\sqrt{2}), (3, 4-2\sqrt{3}), (4, 0), \dots$.