Номер 24.17, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §24. Предел последовательности - номер 24.17, страница 81.

Условие.

24.17 Постройте график последовательности:

a) $y_n = 10 - n^3$;

б) $y_n = (-1)^n \sqrt{9n}$;

В) $y_n = n^3 - 8$;

Г) $y_n = 4 - \sqrt{4n}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Для построения графика последовательности необходимо найти координаты нескольких первых ее членов. График последовательности представляет собой множество отдельных (изолированных) точек на координатной плоскости с координатами $(n, y_n)$, где $n$ — натуральное число (номер члена последовательности), а $y_n$ — значение этого члена.

а) $y_n = 10 - n^3$

Вычислим значения первых нескольких членов последовательности:

• При $n=1$: $y_1 = 10 - 1^3 = 10 - 1 = 9$. Координаты точки: $(1, 9)$.
• При $n=2$: $y_2 = 10 - 2^3 = 10 - 8 = 2$. Координаты точки: $(2, 2)$.
• При $n=3$: $y_3 = 10 - 3^3 = 10 - 27 = -17$. Координаты точки: $(3, -17)$.
• При $n=4$: $y_4 = 10 - 4^3 = 10 - 64 = -54$. Координаты точки: $(4, -54)$.

График представляет собой набор точек, которые лежат на кубической параболе $y = 10 - x^3$. С увеличением $n$ значения $y_n$ очень быстро убывают.

Ответ: График последовательности — это множество точек с координатами $(1, 9), (2, 2), (3, -17), (4, -54), \dots$, которые расположены на координатной плоскости.

б) $y_n = (-1)^n\sqrt{9n}$

Эта последовательность является знакочередующейся, так как множитель $(-1)^n$ меняет знак каждого следующего члена. Вычислим первые члены:

• При $n=1$: $y_1 = (-1)^1\sqrt{9 \cdot 1} = -1 \cdot 3 = -3$. Координаты точки: $(1, -3)$.
• При $n=2$: $y_2 = (-1)^2\sqrt{9 \cdot 2} = 1 \cdot \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.24$. Координаты точки: $(2, 3\sqrt{2})$.
• При $n=3$: $y_3 = (-1)^3\sqrt{9 \cdot 3} = -1 \cdot \sqrt{27} = -3\sqrt{3} \approx -5.20$. Координаты точки: $(3, -3\sqrt{3})$.
• При $n=4$: $y_4 = (-1)^4\sqrt{9 \cdot 4} = 1 \cdot \sqrt{36} = 6$. Координаты точки: $(4, 6)$.

Точки графика поочередно располагаются ниже и выше оси абсцисс. При нечетных $n$ точки находятся в IV координатной четверти, при четных $n$ — в I. Абсолютное значение членов последовательности, $|y_n| = 3\sqrt{n}$, возрастает с ростом $n$.

Ответ: График последовательности — это множество точек с координатами $(1, -3), (2, 3\sqrt{2}), (3, -3\sqrt{3}), (4, 6), \dots$, которые поочередно меняют знак.

в) $y_n = n^3 - 8$

Вычислим значения первых нескольких членов последовательности:

• При $n=1$: $y_1 = 1^3 - 8 = 1 - 8 = -7$. Координаты точки: $(1, -7)$.
• При $n=2$: $y_2 = 2^3 - 8 = 8 - 8 = 0$. Координаты точки: $(2, 0)$.
• При $n=3$: $y_3 = 3^3 - 8 = 27 - 8 = 19$. Координаты точки: $(3, 19)$.
• При $n=4$: $y_4 = 4^3 - 8 = 64 - 8 = 56$. Координаты точки: $(4, 56)$.

График состоит из точек, лежащих на кривой $y = x^3 - 8$. Второй член последовательности равен нулю, поэтому точка $(2, 0)$ лежит на оси абсцисс. С увеличением $n$ значения $y_n$ быстро возрастают.

Ответ: График последовательности — это множество точек с координатами $(1, -7), (2, 0), (3, 19), (4, 56), \dots$.

г) $y_n = 4 - \sqrt{4n}$

Формулу можно упростить: $y_n = 4 - 2\sqrt{n}$. Вычислим первые члены:

• При $n=1$: $y_1 = 4 - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2$. Координаты точки: $(1, 2)$.
• При $n=2$: $y_2 = 4 - 2\sqrt{2} \approx 4 - 2.83 = 1.17$. Координаты точки: $(2, 4-2\sqrt{2})$.
• При $n=3$: $y_3 = 4 - 2\sqrt{3} \approx 4 - 3.46 = 0.54$. Координаты точки: $(3, 4-2\sqrt{3})$.
• При $n=4$: $y_4 = 4 - 2\sqrt{4} = 4 - 4 = 0$. Координаты точки: $(4, 0)$.
• При $n=5$: $y_5 = 4 - 2\sqrt{5} \approx 4 - 4.47 = -0.47$. Координаты точки: $(5, 4-2\sqrt{5})$.

Точки графика лежат на кривой $y = 4 - 2\sqrt{x}$. Последовательность является убывающей. Четвертый член равен нулю, поэтому точка $(4, 0)$ лежит на оси абсцисс. При $n>4$ члены последовательности становятся отрицательными.

Ответ: График последовательности — это множество точек с координатами $(1, 2), (2, 4-2\sqrt{2}), (3, 4-2\sqrt{3}), (4, 0), \dots$.