Номер 24.15, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.15, страница 81.

24.15 a) $x_1 = 2, x_n = nx_{n-1};$

Б) $x_1 = -5, x_n = -0,5 \cdot x_{n-1};$

В) $x_1 = -2, x_n = -x_{n-1};$

Г) $x_1 = 1, x_n = \frac{x_{n-1}}{0,1}.$

a) Дана последовательность, в которой первый член $x_1 = 2$, а каждый последующий член, начиная со второго, вычисляется по рекуррентной формуле $x_n = n \cdot x_{n-1}$.

Найдем первые четыре члена этой последовательности, последовательно подставляя значения $n=2, 3, 4$ в формулу:

Первый член задан по условию: $x_1 = 2$.

Для $n=2$: $x_2 = 2 \cdot x_{2-1} = 2 \cdot x_1 = 2 \cdot 2 = 4$.

Для $n=3$: $x_3 = 3 \cdot x_{3-1} = 3 \cdot x_2 = 3 \cdot 4 = 12$.

Для $n=4$: $x_4 = 4 \cdot x_{4-1} = 4 \cdot x_3 = 4 \cdot 12 = 48$.

Ответ: Первые четыре члена последовательности: 2, 4, 12, 48.

б) Дана последовательность, в которой первый член $x_1 = -5$, а каждый последующий член, начиная со второго, вычисляется по рекуррентной формуле $x_n = -0,5 \cdot x_{n-1}$. Эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = -0,5$.

Найдем первые четыре члена этой последовательности:

Первый член задан по условию: $x_1 = -5$.

Для $n=2$: $x_2 = -0,5 \cdot x_1 = -0,5 \cdot (-5) = 2,5$.

Для $n=3$: $x_3 = -0,5 \cdot x_2 = -0,5 \cdot 2,5 = -1,25$.

Для $n=4$: $x_4 = -0,5 \cdot x_3 = -0,5 \cdot (-1,25) = 0,625$.

Ответ: Первые четыре члена последовательности: -5; 2,5; -1,25; 0,625.

в) Дана последовательность, в которой первый член $x_1 = -2$, а каждый последующий член, начиная со второго, вычисляется по рекуррентной формуле $x_n = -x_{n-1}$. Эта последовательность является знакочередующейся геометрической прогрессией со знаменателем $q = -1$.

Найдем первые четыре члена этой последовательности:

Первый член задан по условию: $x_1 = -2$.

Для $n=2$: $x_2 = -x_1 = -(-2) = 2$.

Для $n=3$: $x_3 = -x_2 = -(2) = -2$.

Для $n=4$: $x_4 = -x_3 = -(-2) = 2$.

Ответ: Первые четыре члена последовательности: -2, 2, -2, 2.

г) Дана последовательность, в которой первый член $x_1 = 1$, а каждый последующий член, начиная со второго, вычисляется по рекуррентной формуле $x_n = \frac{x_{n-1}}{0,1}$.

Заметим, что деление на $0,1$ эквивалентно умножению на 10. Таким образом, формулу можно переписать в виде $x_n = 10 \cdot x_{n-1}$. Эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 10$.

Найдем первые четыре члена этой последовательности:

Первый член задан по условию: $x_1 = 1$.

Для $n=2$: $x_2 = 10 \cdot x_1 = 10 \cdot 1 = 10$.

Для $n=3$: $x_3 = 10 \cdot x_2 = 10 \cdot 10 = 100$.

Для $n=4$: $x_4 = 10 \cdot x_3 = 10 \cdot 100 = 1000$.

Ответ: Первые четыре члена последовательности: 1, 10, 100, 1000.