Номер 24.21, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.21, страница 82.

24.21 Какие из заданных последовательностей ограничены снизу?

a) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$

б) -1, 2, -3, 4, -5, ...

в) $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$

г) 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, ...

а) Последовательность $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$ задается формулой общего члена $a_n = \frac{1}{n}$, где $n$ — натуральное число. Поскольку $n \ge 1$, все члены последовательности $a_n$ являются положительными, то есть для любого $n$ выполняется неравенство $a_n > 0$. Это означает, что последовательность ограничена снизу, например, числом 0.
Ответ: последовательность ограничена снизу.

б) Последовательность $-1, 2, -3, 4, -5, \ldots$ задается формулой общего члена $a_n = (-1)^n \cdot n$. Рассмотрим подпоследовательность ее членов с нечетными номерами: $a_1 = -1, a_3 = -3, a_5 = -5, \ldots, a_{2k-1} = -(2k-1)$. Эта подпоследовательность стремится к $-\infty$, то есть ее члены неограниченно убывают. Это означает, что для любого, сколь угодно малого числа $M$, можно найти такой член последовательности $a_n$, который будет меньше $M$. Следовательно, не существует числа, которое было бы меньше или равно всем членам последовательности.
Ответ: последовательность не ограничена снизу.

в) Последовательность $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots$ задается формулой общего члена $a_n = \frac{n}{n+1}$. Так как $n$ — натуральное число, числитель $n$ и знаменатель $n+1$ всегда положительны, а значит, и все члены последовательности $a_n$ положительны. Эта последовательность является возрастающей, так как разность между последующим и предыдущим членами положительна: $a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$. Поскольку последовательность возрастает, ее наименьшим членом является первый член, $a_1 = \frac{1}{2}$. Таким образом, все члены последовательности удовлетворяют условию $a_n \ge \frac{1}{2}$, то есть последовательность ограничена снизу.
Ответ: последовательность ограничена снизу.

г) Последовательность $5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, \ldots$ является арифметической прогрессией. Ее первый член $a_1=5$, а разность $d = 4 - 5 = -1$. Общий член последовательности можно найти по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d = 5 + (n-1)(-1) = 5 - n + 1 = 6-n$. С увеличением номера $n$ члены последовательности $a_n = 6-n$ неограниченно убывают, стремясь к $-\infty$. Поэтому не существует такого числа $M$, что $a_n \geq M$ для всех $n$.
Ответ: последовательность не ограничена снизу.