Номер 24.5, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §24. Предел последовательности - номер 24.5, страница 79.

Условие.

24.5 a) $0, 1, 2, 3, 4, \ldots;$

б) $-1, -2, -3, -4, -5, \ldots;$

В) $5, 6, 7, 8, 9, \ldots;$

Г) $10, 9, 8, 7, 6, \ldots.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Для последовательности 0, 1, 2, 3, 4, ... мы ищем формулу n-го члена, которую обозначим $a_n$.

Это арифметическая прогрессия, так как каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа. Первый член последовательности $a_1 = 0$. Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 1 - 0 = 1$. Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим значения $a_1 = 0$ и $d = 1$: $a_n = 0 + (n-1) \cdot 1 = n - 1$. Другой способ — заметить, что каждый член последовательности на 1 меньше своего порядкового номера. Например, $a_1 = 1 - 1 = 0$, $a_2 = 2 - 1 = 1$, и так далее.

Ответ: $a_n = n - 1$

б) Для последовательности -1, -2, -3, -4, -5, ... мы ищем формулу n-го члена, которую обозначим $b_n$.

Это также арифметическая прогрессия. Первый член $b_1 = -1$. Разность прогрессии $d = b_2 - b_1 = -2 - (-1) = -1$. Используя общую формулу $b_n = b_1 + (n-1)d$, подставим наши значения: $b_n = -1 + (n-1) \cdot (-1) = -1 - n + 1 = -n$. Также можно заметить, что каждый член последовательности равен своему порядковому номеру, взятому с отрицательным знаком.

Ответ: $b_n = -n$

в) Для последовательности 5, 6, 7, 8, 9, ... мы ищем формулу n-го члена, которую обозначим $c_n$.

Это арифметическая прогрессия. Первый член $c_1 = 5$. Разность прогрессии $d = c_2 - c_1 = 6 - 5 = 1$. Применяем формулу n-го члена: $c_n = c_1 + (n-1)d$. Подставляем известные значения: $c_n = 5 + (n-1) \cdot 1 = 5 + n - 1 = n + 4$. Проверим: для $n=1$, $c_1 = 1 + 4 = 5$; для $n=2$, $c_2 = 2 + 4 = 6$. Формула верна.

Ответ: $c_n = n + 4$

г) Для последовательности 10, 9, 8, 7, 6, ... мы ищем формулу n-го члена, которую обозначим $d_n$.

Это убывающая арифметическая прогрессия. Первый член $d_1 = 10$. Разность прогрессии $d = d_2 - d_1 = 9 - 10 = -1$. Используем формулу n-го члена: $d_n = d_1 + (n-1)d$. Подставляем значения: $d_n = 10 + (n-1) \cdot (-1) = 10 - n + 1 = 11 - n$. Проверим: для $n=1$, $d_1 = 11 - 1 = 10$; для $n=3$, $d_3 = 11 - 3 = 8$. Формула верна.

Ответ: $d_n = 11 - n$