Номер 23.12, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§23. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 23.12, страница 78.

23.12 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = f(x)$, если:

a) $f(x) = \sin \left(x + \frac{\pi}{8}\right) \cos \left(x - \frac{\pi}{24}\right);$

б) $f(x) = \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right).$

а) $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{8}\right) \cos\left(x - \frac{\pi}{24}\right)$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции преобразуем произведение тригонометрических функций в сумму, используя формулу:

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$

В нашем случае пусть $\alpha = x + \frac{\pi}{8}$ и $\beta = x - \frac{\pi}{24}$.

Найдем сумму и разность углов $\alpha$ и $\beta$:

$\alpha + \beta = \left(x + \frac{\pi}{8}\right) + \left(x - \frac{\pi}{24}\right) = 2x + \frac{3\pi}{24} - \frac{\pi}{24} = 2x + \frac{2\pi}{24} = 2x + \frac{\pi}{12}$

$\alpha - \beta = \left(x + \frac{\pi}{8}\right) - \left(x - \frac{\pi}{24}\right) = x + \frac{\pi}{8} - x + \frac{\pi}{24} = \frac{3\pi}{24} + \frac{\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$

Подставим полученные выражения в формулу преобразования:

$f(x) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$

Мы знаем, что значение $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в функцию:

$f(x) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) + \frac{1}{4}$

Область значений синуса — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого значения аргумента $z$, выполняется неравенство $-1 \le \sin(z) \le 1$.

Следовательно, $-1 \le \sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) \le 1$.

Наименьшее значение функции $f(x)$ достигается, когда $\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right)$ принимает наименьшее значение, равное -1:

$y_{наим} = \frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

Наибольшее значение функции $f(x)$ достигается, когда $\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right)$ принимает наибольшее значение, равное 1:

$y_{наиб} = \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{1}{4}$, наибольшее значение равно $\frac{3}{4}$.

---

б) $f(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$

Для решения задачи преобразуем произведение синусов в разность косинусов с помощью формулы:

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$

В данном случае пусть $\alpha = x - \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x + \frac{\pi}{3}$.

Найдем разность и сумму этих углов:

$\alpha - \beta = \left(x - \frac{\pi}{3}\right) - \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = x - \frac{\pi}{3} - x - \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$

$\alpha + \beta = \left(x - \frac{\pi}{3}\right) + \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 2x$

Подставим эти выражения в исходную формулу:

$f(x) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) - \cos(2x)\right)$

Косинус является четной функцией, поэтому $\cos(-z) = \cos(z)$. Также известно, что $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, функция принимает вид:

$f(x) = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} - \cos(2x)\right) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos(2x)$

Область значений косинуса — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \cos(2x) \le 1$.

Наименьшее значение функции $f(x)$ достигается тогда, когда значение $\cos(2x)$ максимально (равно 1), так как перед ним стоит знак минус:

$y_{наим} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}(1) = -\frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{3}{4}$

Наибольшее значение функции $f(x)$ достигается тогда, когда значение $\cos(2x)$ минимально (равно -1):

$y_{наиб} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}(-1) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{3}{4}$, наибольшее значение равно $\frac{1}{4}$.