Номер 23.6, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§23. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 23.6, страница 77.

23.6 Докажите тождество:

a) $2\sin t \sin 2t + \cos 3t = \cos t$;

б) $\sin \alpha - 2 \sin \left(\frac{\alpha}{2} - 15^\circ\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2} + 15^\circ\right) = \frac{1}{2}$.

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $2\sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.

Применим эту формулу к первому слагаемому, где в нашем случае $\alpha=2t$ и $\beta=t$:

$2\sin t \sin 2t = \cos(2t - t) - \cos(2t + t) = \cos t - \cos 3t$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного равенства:

$(\cos t - \cos 3t) + \cos 3t = \cos t - \cos 3t + \cos 3t = \cos t$.

В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна правой части: $\cos t = \cos t$. Тождество доказано.

Ответ:

б)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Рассмотрим выражение $2\sin(\frac{\alpha}{2} - 15^\circ)\cos(\frac{\alpha}{2} + 15^\circ)$ и применим к нему формулу преобразования произведения синуса и косинуса в сумму синусов: $2\sin A \cos B = \sin(A + B) + \sin(A - B)$.

В нашем случае $A = \frac{\alpha}{2} - 15^\circ$ и $B = \frac{\alpha}{2} + 15^\circ$.

Найдём сумму и разность аргументов:

$A + B = (\frac{\alpha}{2} - 15^\circ) + (\frac{\alpha}{2} + 15^\circ) = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} - 15^\circ + 15^\circ = \alpha$.

$A - B = (\frac{\alpha}{2} - 15^\circ) - (\frac{\alpha}{2} + 15^\circ) = \frac{\alpha}{2} - 15^\circ - \frac{\alpha}{2} - 15^\circ = -30^\circ$.

Подставим найденные значения в формулу:

$2\sin(\frac{\alpha}{2} - 15^\circ)\cos(\frac{\alpha}{2} + 15^\circ) = \sin(\alpha) + \sin(-30^\circ)$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$ и значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\sin(\alpha) + \sin(-30^\circ) = \sin\alpha - \sin 30^\circ = \sin\alpha - \frac{1}{2}$.

Теперь подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$\sin\alpha - (\sin\alpha - \frac{1}{2}) = \sin\alpha - \sin\alpha + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Левая часть равна правой части: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Тождество доказано.

Ответ: