Номер 23.1, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §23. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы - номер 23.1, страница 76.

Условие.

Преобразуйте произведение в сумму:

23.1 а) $\sin 23^\circ \sin 32^\circ$;

б) $\cos \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{8}$;

в) $\sin 14^\circ \cos 16^\circ$;

г) $2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Для преобразования произведения синусов в сумму используется формула $\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.
В нашем случае $\alpha = 23^\circ$ и $\beta = 32^\circ$.
Подставим значения в формулу:
$\sin 23^\circ \sin 32^\circ = \frac{1}{2}(\cos(23^\circ - 32^\circ) - \cos(23^\circ + 32^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(-9^\circ) - \cos(55^\circ))$.
Поскольку косинус является четной функцией ($\cos(-x) = \cos(x)$), получаем:
$\frac{1}{2}(\cos 9^\circ - \cos 55^\circ)$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 9^\circ - \cos 55^\circ)$.

б) Для преобразования произведения косинусов в сумму используется формула $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.
Пусть $\alpha = \frac{\pi}{8}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$ (для удобства вычислений можно взять больший угол за $\alpha$).
Найдем разность и сумму углов:
$\alpha - \beta = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{24} - \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{24}$.
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{24} + \frac{2\pi}{24} = \frac{5\pi}{24}$.
Подставим полученные значения в формулу:
$\cos \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{24} + \cos \frac{5\pi}{24})$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{24} + \cos \frac{5\pi}{24})$.

в) Для преобразования произведения синуса на косинус в сумму используется формула $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$.
В данном случае $\alpha = 14^\circ$ и $\beta = 16^\circ$.
Подставим значения в формулу:
$\sin 14^\circ \cos 16^\circ = \frac{1}{2}(\sin(14^\circ + 16^\circ) + \sin(14^\circ - 16^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 30^\circ + \sin(-2^\circ))$.
Поскольку синус является нечетной функцией ($\sin(-x) = -\sin(x)$), получаем:
$\frac{1}{2}(\sin 30^\circ - \sin 2^\circ)$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\sin 30^\circ - \sin 2^\circ)$.

г) Для преобразования данного произведения в сумму используется формула $2\sin\alpha \cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.
Здесь $\alpha = \frac{\pi}{8}$ и $\beta = \frac{\pi}{5}$.
Найдем сумму и разность углов:
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{40} + \frac{8\pi}{40} = \frac{13\pi}{40}$.
$\alpha - \beta = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{40} - \frac{8\pi}{40} = -\frac{3\pi}{40}$.
Подставим в формулу:
$2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{5} = \sin(\frac{13\pi}{40}) + \sin(-\frac{3\pi}{40})$.
Используя свойство нечетности синуса, получаем:
$\sin \frac{13\pi}{40} - \sin \frac{3\pi}{40}$.

Ответ: $\sin \frac{13\pi}{40} - \sin \frac{3\pi}{40}$.