Номер 23.5, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§23. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 23.5, страница 77.

23.5 a) $2\sin x \cos 3x + \sin 4x = 0$

б) $\sin \frac{x}{2} \sin \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}. $

а) $2\sin x \cos 3x + \sin 4x = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения синуса и косинуса в сумму: $2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.

Применим эту формулу к первому слагаемому, где $\alpha = x$ и $\beta = 3x$:

$2\sin x \cos 3x = \sin(x + 3x) + \sin(x - 3x) = \sin 4x + \sin(-2x)$.

Так как синус — нечетная функция, $\sin(-2x) = -\sin 2x$. Следовательно, $2\sin x \cos 3x = \sin 4x - \sin 2x$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$(\sin 4x - \sin 2x) + \sin 4x = 0$

$2\sin 4x - \sin 2x = 0$

Теперь используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Для $\sin 4x$ имеем $\sin(2 \cdot 2x) = 2\sin 2x \cos 2x$.

Подставим это в наше уравнение:

$2(2\sin 2x \cos 2x) - \sin 2x = 0$

$4\sin 2x \cos 2x - \sin 2x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки:

$\sin 2x (4\cos 2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1) $\sin 2x = 0$

$2x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

$x = \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $4\cos 2x - 1 = 0$

$\cos 2x = \frac{1}{4}$

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + n\pi$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{k\pi}{2}$, $x = \pm \frac{1}{2}\arccos\left(\frac{1}{4}\right) + n\pi$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2} = \frac{1}{2}$

Для решения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.

Применим эту формулу к левой части уравнения, где $\alpha = \frac{3x}{2}$ и $\beta = \frac{x}{2}$ (для удобства вычитания):

$\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{3x}{2} - \frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{3x}{2} + \frac{x}{2}\right)\right)$

$\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{2x}{2}\right) - \cos\left(\frac{4x}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}(\cos x - \cos 2x)$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$\frac{1}{2}(\cos x - \cos 2x) = \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2:

$\cos x - \cos 2x = 1$

Теперь используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

$\cos x - (2\cos^2 x - 1) = 1$

$\cos x - 2\cos^2 x + 1 = 1$

$\cos x - 2\cos^2 x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (1 - 2\cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1) $\cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $1 - 2\cos x = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.