Номер 23.9, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§23. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 23.9, страница 77.
№23.9 (с. 77)
Условие. №23.9 (с. 77)
скриншот условия

23.9 a) $ \frac{1}{2 \sin 10^\circ} - 2 \sin 70^\circ; $
б) $ \frac{\operatorname{tg} 60^\circ}{\sin 40^\circ} + 4 \cos 100^\circ. $
Решение 1. №23.9 (с. 77)

Решение 2. №23.9 (с. 77)

Решение 3. №23.9 (с. 77)

Решение 5. №23.9 (с. 77)

Решение 6. №23.9 (с. 77)
а) $\frac{1}{2 \sin 10^\circ} - 2 \sin 70^\circ$
Приведем выражение к общему знаменателю:
$\frac{1 - 2 \sin 70^\circ \cdot 2 \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ} = \frac{1 - 4 \sin 70^\circ \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ}$
Для преобразования произведения синусов в числителе воспользуемся формулой произведения синусов: $2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.
$4 \sin 70^\circ \sin 10^\circ = 2 \cdot (2 \sin 70^\circ \sin 10^\circ) = 2(\cos(70^\circ - 10^\circ) - \cos(70^\circ + 10^\circ)) = 2(\cos 60^\circ - \cos 80^\circ)$.
Мы знаем, что значение $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Подставим его в выражение:
$2(\frac{1}{2} - \cos 80^\circ) = 1 - 2 \cos 80^\circ$.
Теперь подставим полученный результат обратно в числитель исходной дроби:
$1 - (1 - 2 \cos 80^\circ) = 1 - 1 + 2 \cos 80^\circ = 2 \cos 80^\circ$.
Таким образом, наше выражение упрощается до:
$\frac{2 \cos 80^\circ}{2 \sin 10^\circ}$.
Применим формулу приведения $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$:
$\cos 80^\circ = \sin(90^\circ - 80^\circ) = \sin 10^\circ$.
Подставив это, мы получаем окончательный результат:
$\frac{2 \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ} = 1$.
Ответ: 1.
б) $\frac{\tan 60^\circ}{\sin 40^\circ} + 4 \cos 100^\circ$
Сначала подставим известное значение $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$:
$\frac{\sqrt{3}}{\sin 40^\circ} + 4 \cos 100^\circ$.
Приведем слагаемые к общему знаменателю $\sin 40^\circ$:
$\frac{\sqrt{3} + 4 \cos 100^\circ \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ}$.
Для преобразования произведения в числителе используем формулу: $2 \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)$.
$4 \cos 100^\circ \sin 40^\circ = 2 \cdot (2 \cos 100^\circ \sin 40^\circ) = 2(\sin(100^\circ + 40^\circ) - \sin(100^\circ - 40^\circ)) = 2(\sin 140^\circ - \sin 60^\circ)$.
Используем формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, чтобы упростить $\sin 140^\circ$:
$\sin 140^\circ = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ$.
Также мы знаем, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставим эти значения:
$2(\sin 40^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 \sin 40^\circ - \sqrt{3}$.
Теперь подставим это выражение в числитель исходной дроби:
$\sqrt{3} + (2 \sin 40^\circ - \sqrt{3}) = 2 \sin 40^\circ$.
В результате все выражение принимает вид:
$\frac{2 \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ} = 2$.
Ответ: 2.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 23.9 расположенного на странице 77 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №23.9 (с. 77), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.