Номер 23.9, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §23. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы - номер 23.9, страница 77.

Условие.

23.9 a) $ \frac{1}{2 \sin 10^\circ} - 2 \sin 70^\circ; $

б) $ \frac{\operatorname{tg} 60^\circ}{\sin 40^\circ} + 4 \cos 100^\circ. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $\frac{1}{2 \sin 10^\circ} - 2 \sin 70^\circ$

Приведем выражение к общему знаменателю:
$\frac{1 - 2 \sin 70^\circ \cdot 2 \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ} = \frac{1 - 4 \sin 70^\circ \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ}$
Для преобразования произведения синусов в числителе воспользуемся формулой произведения синусов: $2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.
$4 \sin 70^\circ \sin 10^\circ = 2 \cdot (2 \sin 70^\circ \sin 10^\circ) = 2(\cos(70^\circ - 10^\circ) - \cos(70^\circ + 10^\circ)) = 2(\cos 60^\circ - \cos 80^\circ)$.
Мы знаем, что значение $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Подставим его в выражение:
$2(\frac{1}{2} - \cos 80^\circ) = 1 - 2 \cos 80^\circ$.
Теперь подставим полученный результат обратно в числитель исходной дроби:
$1 - (1 - 2 \cos 80^\circ) = 1 - 1 + 2 \cos 80^\circ = 2 \cos 80^\circ$.
Таким образом, наше выражение упрощается до:
$\frac{2 \cos 80^\circ}{2 \sin 10^\circ}$.
Применим формулу приведения $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$:
$\cos 80^\circ = \sin(90^\circ - 80^\circ) = \sin 10^\circ$.
Подставив это, мы получаем окончательный результат:
$\frac{2 \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ} = 1$.
Ответ: 1.

б) $\frac{\tan 60^\circ}{\sin 40^\circ} + 4 \cos 100^\circ$

Сначала подставим известное значение $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$:
$\frac{\sqrt{3}}{\sin 40^\circ} + 4 \cos 100^\circ$.
Приведем слагаемые к общему знаменателю $\sin 40^\circ$:
$\frac{\sqrt{3} + 4 \cos 100^\circ \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ}$.
Для преобразования произведения в числителе используем формулу: $2 \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)$.
$4 \cos 100^\circ \sin 40^\circ = 2 \cdot (2 \cos 100^\circ \sin 40^\circ) = 2(\sin(100^\circ + 40^\circ) - \sin(100^\circ - 40^\circ)) = 2(\sin 140^\circ - \sin 60^\circ)$.
Используем формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, чтобы упростить $\sin 140^\circ$:
$\sin 140^\circ = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ$.
Также мы знаем, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставим эти значения:
$2(\sin 40^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 \sin 40^\circ - \sqrt{3}$.
Теперь подставим это выражение в числитель исходной дроби:
$\sqrt{3} + (2 \sin 40^\circ - \sqrt{3}) = 2 \sin 40^\circ$.
В результате все выражение принимает вид:
$\frac{2 \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ} = 2$.
Ответ: 2.