Номер 23.13, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§23. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 23.13, страница 78.

23.13 Докажите тождество

$ \cos^2(45^\circ - \alpha) - \cos^2(60^\circ + \alpha) - \cos 75^\circ \sin(75^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha. $

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала рассмотрим разность квадратов косинусов, применив формулу понижения степени $cos²x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

$cos²(45° - α) = \frac{1 + cos(2(45° - α))}{2} = \frac{1 + cos(90° - 2α)}{2}$
Используя формулу приведения $cos(90° - \beta) = sin\beta$, получаем:
$\frac{1 + cos(90° - 2α)}{2} = \frac{1 + sin(2α)}{2}$.

Для второго члена:
$cos²(60° + α) = \frac{1 + cos(2(60° + α))}{2} = \frac{1 + cos(120° + 2α)}{2}$.

Теперь разность первых двух членов равна:
$cos²(45° - α) - cos²(60° + α) = \frac{1 + sin(2α)}{2} - \frac{1 + cos(120° + 2α)}{2} = \frac{1 + sin(2α) - 1 - cos(120° + 2α)}{2} = \frac{sin(2α) - cos(120° + 2α)}{2}$.

Далее преобразуем третий член $- cos 75° sin(75° - 2α)$, используя формулу преобразования произведения в сумму $cosA sinB = \frac{1}{2}(sin(A+B) - sin(A-B))$:

$- cos 75° sin(75° - 2α) = - \frac{1}{2}(sin(75° + 75° - 2α) - sin(75° - (75° - 2α)))$
$= - \frac{1}{2}(sin(150° - 2α) - sin(2α)) = \frac{sin(2α) - sin(150° - 2α)}{2}$.

Теперь сложим полученные выражения, чтобы получить всю левую часть тождества:

$\frac{sin(2α) - cos(120° + 2α)}{2} + \frac{sin(2α) - sin(150° - 2α)}{2} = \frac{sin(2α) - cos(120° + 2α) + sin(2α) - sin(150° - 2α)}{2}$
$= \frac{2sin(2α) - (cos(120° + 2α) + sin(150° - 2α))}{2} = sin(2α) - \frac{cos(120° + 2α) + sin(150° - 2α)}{2}$.

Рассмотрим сумму в числителе дроби, $cos(120° + 2α) + sin(150° - 2α)$, и применим формулы приведения:

$cos(120° + 2α) = cos(90° + (30° + 2α)) = -sin(30° + 2α)$.
$sin(150° - 2α) = sin(180° - (30° + 2α)) = sin(30° + 2α)$.

Сумма этих двух выражений равна:

$-sin(30° + 2α) + sin(30° + 2α) = 0$.

Подставив этот результат в преобразованную левую часть, получаем:

$sin(2α) - \frac{0}{2} = sin(2α)$.

Таким образом, левая часть тождества равна $sin(2α)$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество $cos²(45° - α) - cos²(60° + α) - cos 75° sin(75° - 2α) = sin2α$ доказано.