Номер 22.39, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.39, страница 76.

22.39 Докажите тождество:

a) $\sin x + \cos x + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cos^2 \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right);$

б) $\cos 2x - \sin 2x - \sqrt{2} = -2\sqrt{2} \sin^2 \left(x + \frac{\pi}{8}\right).$

Для доказательства тождеств преобразуем их правые части к левым, используя тригонометрические формулы.

а)

Докажем тождество: $ \sin x + \cos x + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cos^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) $.

Преобразуем правую часть равенства. Для этого используем формулу понижения степени для косинуса: $ \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $, или $ 2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha) $.

$ 2\sqrt{2} \cos^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} \cdot \left(2 \cos^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)\right) $

Применим формулу, где $ \alpha = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} $. Тогда $ 2\alpha = 2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = x - \frac{\pi}{4} $.

$ \sqrt{2} \cdot \left(1 + \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \sqrt{2} + \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $

Теперь используем формулу косинуса разности: $ \cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b $.

$ \sqrt{2} + \sqrt{2}\left(\cos x \cos\frac{\pi}{4} + \sin x \sin\frac{\pi}{4}\right) $

Зная, что $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, подставляем эти значения:

$ \sqrt{2} + \sqrt{2}\left(\cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x) $

$ \sqrt{2} + \frac{2}{2}(\cos x + \sin x) = \sqrt{2} + \cos x + \sin x $

Полученное выражение равно левой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Докажем тождество: $ \cos 2x - \sin 2x - \sqrt{2} = -2\sqrt{2} \sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right) $.

Преобразуем правую часть равенства. Для этого используем формулу понижения степени для синуса: $ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $, или $ 2\sin^2\alpha = 1 - \cos(2\alpha) $.

$ -2\sqrt{2} \sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right) = -\sqrt{2} \cdot \left(2 \sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right)\right) $

Применим формулу, где $ \alpha = x + \frac{\pi}{8} $. Тогда $ 2\alpha = 2\left(x + \frac{\pi}{8}\right) = 2x + \frac{\pi}{4} $.

$ -\sqrt{2} \cdot \left(1 - \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\right) = -\sqrt{2} + \sqrt{2}\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) $

Теперь используем формулу косинуса суммы: $ \cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b $.

$ -\sqrt{2} + \sqrt{2}\left(\cos 2x \cos\frac{\pi}{4} - \sin 2x \sin\frac{\pi}{4}\right) $

Подставляем значения $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $:

$ -\sqrt{2} + \sqrt{2}\left(\cos 2x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin 2x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos 2x - \sin 2x) $

$ -\sqrt{2} + \frac{2}{2}(\cos 2x - \sin 2x) = -\sqrt{2} + \cos 2x - \sin 2x $

Полученное выражение равно левой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.