Номер 22.34, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.34, страница 75.

22.34 Найдите область значений функции:

а) $y = 3 \sin 2x - 4 \cos 2x;$

б) $y = 5 \cos 3x + 12 \sin 3x;$

в) $y = 7 \sin \frac{x}{2} + 24 \cos \frac{x}{2};$

г) $y = 8 \cos \frac{x}{3} - 15 \sin \frac{x}{3}.$

Для нахождения области значений функций вида $y = a \sin(\omega x) + b \cos(\omega x)$ используется метод введения вспомогательного угла. Суть метода заключается в преобразовании выражения к виду $y = R \sin(\omega x + \alpha)$ или $y = R \cos(\omega x - \beta)$, где амплитуда $R = \sqrt{a^2 + b^2}$. Для этого выносим $R$ за скобки: $y = R \left( \frac{a}{R} \sin(\omega x) + \frac{b}{R} \cos(\omega x) \right)$. Так как $\left(\frac{a}{R}\right)^2 + \left(\frac{b}{R}\right)^2 = 1$, существует такой угол $\alpha$, что $\cos \alpha = \frac{a}{R}$ и $\sin \alpha = \frac{b}{R}$. Используя формулу синуса суммы, получаем $y = R \sin(\omega x + \alpha)$. Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то область значений исходной функции $y$ будет отрезком $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$. Применим этот общий результат к каждой из задач.

а) Для функции $y = 3 \sin 2x - 4 \cos 2x$ имеем коэффициенты $a=3$ и $b=-4$. Максимальное и минимальное значения определяются амплитудой $R = \sqrt{a^2 + b^2}$. Вычислим $R$: $R = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-5, 5]$.

Ответ: $E(y) = [-5, 5]$.

б) Для функции $y = 5 \cos 3x + 12 \sin 3x$, которую можно записать как $y = 12 \sin 3x + 5 \cos 3x$, коэффициенты равны $a=12$ и $b=5$. Вычислим амплитуду $R$: $R = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$. Таким образом, область значений функции — это отрезок $[-13, 13]$.

Ответ: $E(y) = [-13, 13]$.

в) Для функции $y = 7 \sin \frac{x}{2} + 24 \cos \frac{x}{2}$ коэффициенты $a=7$ и $b=24$. Вычислим амплитуду $R$: $R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$. Область значений данной функции — это отрезок $[-25, 25]$.

Ответ: $E(y) = [-25, 25]$.

г) Для функции $y = 8 \cos \frac{x}{3} - 15 \sin \frac{x}{3}$, которую можно записать как $y = -15 \sin \frac{x}{3} + 8 \cos \frac{x}{3}$, коэффициенты $a=-15$ и $b=8$. Вычислим амплитуду $R$: $R = \sqrt{(-15)^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$. Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-17, 17]$.

Ответ: $E(y) = [-17, 17]$.