Номер 22.32, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.32, страница 75.

22.32 Решите уравнение:

a) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1$;

б) $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$;

в) $\sin x - \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3}$;

г) $\sin x - \cos x = 1$.

а) Данное уравнение $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1$ является линейным тригонометрическим уравнением вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \frac{1}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$. Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{6}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{6}) \cos x = \frac{1}{2}$

Применив формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, получим:

$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Решения этого простейшего тригонометрического уравнения имеют вид:

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x + \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из первого случая получаем: $x = 2\pi k$.

Из второго случая получаем: $x + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \implies x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{4\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Ответ: $x = 2\pi k, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$ разделим обе его части на $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = 1$

Так как $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, а $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4})$, уравнение можно переписать в виде:

$\cos(\frac{\pi}{4}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{4}) \cos x = 1$

Используя формулу синуса суммы, получаем:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решение которого:

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

в) Для решения уравнения $\sin x - \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3}$ разделим обе его части на $\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$:

$\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$. Подставим эти значения:

$\cos(\frac{\pi}{3}) \sin x - \sin(\frac{\pi}{3}) \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Применив формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$, получим:

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из первого случая: $x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Из второго случая: $x - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \pi + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

г) Для решения уравнения $\sin x - \cos x = 1$ разделим обе его части на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Так как $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, а $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4})$, уравнение можно переписать в виде:

$\cos(\frac{\pi}{4}) \sin x - \sin(\frac{\pi}{4}) \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Используя формулу синуса разности, получаем:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из первого случая: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Из второго случая: $x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \pi + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.