Номер 22.26, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.26, страница 74.

22.26 a) $ \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 5x = 0; $

б) $ \operatorname{tg} 3x = \operatorname{ctg} x; $

В) $ \operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg} 4x; $

Г) $ \operatorname{ctg} \frac{x}{2} + \operatorname{ctg} \frac{3x}{2} = 0. $

a) $\tg x + \tg 5x = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями:

$\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\cos 5x \neq 0 \implies 5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z} \implies x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}, m \in \mathbb{Z}$

Перенесем $\tg 5x$ в правую часть и воспользуемся свойством нечетности тангенса $\tg(-a) = -\tg a$:

$\tg x = -\tg 5x$

$\tg x = \tg(-5x)$

Равенство тангенсов $\tg a = \tg b$ выполняется, если $a = b + \pi n$, где n - любое целое число.

$x = -5x + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$6x = \pi n$

$x = \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ.

1. Проверим условие $\cos x \neq 0$.

$\cos(\frac{\pi n}{6}) = 0$, если $\frac{\pi n}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Отсюда $\frac{n}{6} = \frac{1}{2} + k$, что дает $n = 3 + 6k$. Это означает, что n не может быть нечетным числом, кратным 3 (например, 3, 9, 15, -3, -9, ...).

2. Проверим условие $\cos 5x \neq 0$.

$\cos(\frac{5\pi n}{6}) = 0$, если $\frac{5\pi n}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi m$. Отсюда $\frac{5n}{6} = \frac{1}{2} + m$, что дает $5n = 3 + 6m = 3(1+2m)$. Правая часть является нечетным числом, кратным 3. Следовательно, n также должно быть нечетным числом, кратным 3. То есть $n = 3, 9, 15, ...$ или в общем виде $n = 3(2k+1) = 6k+3$.

Оба условия приводят к одному и тому же ограничению: n не должно быть нечетным числом, кратным 3.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$ и $n \neq 3 + 6k$ для любого $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\tg 3x = \ctg x$

ОДЗ: $\cos 3x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$ и $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Используем формулу приведения $\ctg x = \tg(\frac{\pi}{2} - x)$.

$\tg 3x = \tg(\frac{\pi}{2} - x)$

Это равенство истинно, если их аргументы отличаются на $\pi n$:

$3x = \frac{\pi}{2} - x + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$

Проверим ОДЗ. Решения $x = \frac{\pi(1+2n)}{8}$ никогда не будут равны $\pi m$ (нечетное равно четному) или $\frac{\pi(1+2k)}{6}$ (нечетное кратное 3 равно четному кратному 4). Таким образом, все найденные решения входят в ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\tg 2x = \tg 4x$

ОДЗ: $\cos 2x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ и $\cos 4x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4}, m \in \mathbb{Z}$.

Равенство тангенсов $\tg a = \tg b$ выполняется, если $a = b + \pi n$.

$4x = 2x + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$2x = \pi n$

$x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Проверим, удовлетворяют ли эти корни ОДЗ.

Для $x = \frac{\pi n}{2}$, имеем $2x = \pi n$ и $4x = 2\pi n$.

$\cos(2x) = \cos(\pi n) = (-1)^n \neq 0$.

$\cos(4x) = \cos(2\pi n) = 1 \neq 0$.

Оба условия ОДЗ выполняются для всех целых n.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\ctg\frac{x}{2} + \ctg\frac{3x}{2} = 0$

ОДЗ: $\sin \frac{x}{2} \neq 0 \implies x \neq 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $\sin \frac{3x}{2} \neq 0 \implies x \neq \frac{2\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$.

Воспользуемся формулой суммы котангенсов $\ctg a + \ctg b = \frac{\sin(a+b)}{\sin a \sin b}$.

$\frac{\sin(\frac{x}{2} + \frac{3x}{2})}{\sin\frac{x}{2} \sin\frac{3x}{2}} = 0$

$\frac{\sin 2x}{\sin\frac{x}{2} \sin\frac{3x}{2}} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$\sin 2x = 0 \implies 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Теперь исключим значения n, при которых знаменатель обращается в ноль.

1. $\sin\frac{x}{2} = \sin(\frac{\pi n}{4}) = 0 \implies \frac{\pi n}{4} = \pi k \implies n = 4k$.

2. $\sin\frac{3x}{2} = \sin(\frac{3\pi n}{4}) = 0 \implies \frac{3\pi n}{4} = \pi m \implies 3n = 4m$. Отсюда следует, что n должно быть кратно 4, то есть $n=4k$.

Оба условия требуют исключить значения n, кратные 4.

Таким образом, решениями являются $x = \frac{\pi n}{2}$ для всех целых n, которые не делятся на 4. Эти серии корней можно записать в виде:

$n = 4k+1 \implies x = \frac{\pi(4k+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$n = 4k+2 \implies x = \frac{\pi(4k+2)}{2} = \pi + 2\pi k$

$n = 4k+3 \implies x = \frac{\pi(4k+3)}{2} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Первую и третью серии можно объединить в одну: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.