Номер 22.24, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.24, страница 74.

22.24 a) $1 + \cos 6x = 2\sin^2 5x;$

б) $\cos^2 2x = \cos^2 4x;$

в) $\sin^2 \frac{x}{2} = \cos^2 \frac{7x}{2};$

г) $\sin^2 x + \sin 3x = 1.$

а) $1 + \cos 6x = 2\sin^2 5x$

Используем формулу косинуса двойного угла $1+\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha$ для левой части и формулу понижения степени $2\sin^2\beta=1-\cos(2\beta)$ для правой части. Однако, проще использовать формулу понижения степени для обеих частей уравнения, предварительно преобразовав левую часть.

Исходное уравнение: $1 + \cos 6x = 2\sin^2 5x$.

Воспользуемся формулой $2\sin^2\alpha = 1 - \cos(2\alpha)$. Для правой части, при $\alpha = 5x$, получаем $2\sin^2 5x = 1 - \cos(10x)$.

Подставим это в уравнение:

$1 + \cos 6x = 1 - \cos 10x$

$\cos 6x + \cos 10x = 0$

Теперь применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos\frac{10x+6x}{2}\cos\frac{10x-6x}{2} = 0$

$2\cos 8x \cos 2x = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos 8x = 0$

$8x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}, \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^2 2x = \cos^2 4x$

Применим формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{1+\cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1+\cos(2 \cdot 4x)}{2}$

$\frac{1+\cos 4x}{2} = \frac{1+\cos 8x}{2}$

$1+\cos 4x = 1+\cos 8x$

$\cos 4x = \cos 8x$

$\cos 8x - \cos 4x = 0$

Используем формулу разности косинусов $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$:

$-2\sin\frac{8x+4x}{2}\sin\frac{8x-4x}{2} = 0$

$-2\sin 6x \sin 2x = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin 6x = 0$

$6x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $\sin 2x = 0$

$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Если $n=3k$, то $\frac{\pi n}{6} = \frac{3\pi k}{6} = \frac{\pi k}{2}$. Поэтому достаточно указать только первую серию решений.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin^2\frac{x}{2} = \cos^2\frac{7x}{2}$

Используем формулы понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$ и $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$.

$\frac{1-\cos(2 \cdot \frac{x}{2})}{2} = \frac{1+\cos(2 \cdot \frac{7x}{2})}{2}$

$\frac{1-\cos x}{2} = \frac{1+\cos 7x}{2}$

$1-\cos x = 1+\cos 7x$

$-\cos x = \cos 7x$

$\cos 7x + \cos x = 0$

Применим формулу суммы косинусов:

$2\cos\frac{7x+x}{2}\cos\frac{7x-x}{2} = 0$

$2\cos 4x \cos 3x = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos 4x = 0$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos 3x = 0$

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений являются независимыми.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin^2 x + \sin 3x = 1$

Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

$\sin 3x = 1 - \sin^2 x$

$\sin 3x = \cos^2 x$

Теперь используем формулу синуса тройного угла $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ и основное тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

$3\sin x - 4\sin^3 x = 1 - \sin^2 x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить кубическое уравнение относительно $\sin x$.

$4\sin^3 x - \sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$

Сделаем замену $y = \sin x$. Уравнение примет вид:

$4y^3 - y^2 - 3y + 1 = 0$

Это кубическое уравнение. Проверка на наличие рациональных корней (вида $p/q$) показывает, что их нет. Уравнение имеет три действительных иррациональных корня, которые можно найти с помощью формулы Кардано или численными методами. Все три корня находятся в интервале $[-1, 1]$, поэтому для каждого корня $y_i$ существует бесконечное множество решений для $x$ вида $x = (-1)^k \arcsin(y_i) + \pi k$.

Поскольку нахождение точных значений корней этого кубического уравнения выходит за рамки стандартной школьной программы, решение обычно оставляют в такой форме.

Ответ: $x$ являются решениями уравнения $\sin 3x = \cos^2 x$, которые сводятся к нахождению корней кубического уравнения $4y^3 - y^2 - 3y + 1 = 0$, где $y = \sin x$.