Номер 22.23, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.23, страница 74.

Решите уравнение:

22.23 а) $\sin 3x = \cos 2x;$

б) $\sin (5\pi - x) = \cos (2x + 7\pi);$

в) $\cos 5x = \sin 15x;$

г) $\sin (7\pi + x) = \cos (9\pi + 2x).$

а) Исходное уравнение: $sin3x = cos2x$.
Воспользуемся формулой приведения $cos\alpha = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, чтобы привести уравнение к одному наименованию функции.
Уравнение примет вид: $sin3x = sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$.
Равенство синусов $sinA = sinB$ выполняется, если $A = B + 2\pi n$ или $A = \pi - B + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая:
1) $3x = \frac{\pi}{2} - 2x + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $3x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 2x) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$3x = \pi - \frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi k$
$3x - 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, не является ли вторая серия решений частью первой. Для этого приравняем выражения для $x$:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$
Разделим обе части на $\pi$: $\frac{1}{2} + 2k = \frac{1}{10} + \frac{2n}{5}$.
Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от дробей: $5 + 20k = 1 + 4n$.
$4n = 4 + 20k \implies n = 1 + 5k$.
Поскольку для любого целого $k$ число $n$ также будет целым, вторая серия решений является подмножеством первой. Таким образом, все решения уравнения описываются первой формулой.
Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $sin(5\pi - x) = cos(2x + 7\pi)$.
Сначала упростим аргументы тригонометрических функций, используя формулы приведения и периодичность.
$sin(5\pi - x) = sin(4\pi + \pi - x) = sin(\pi - x) = sinx$.
$cos(2x + 7\pi) = cos(2x + \pi + 6\pi) = cos(2x + \pi) = -cos(2x)$.
После упрощения уравнение принимает вид: $sinx = -cos(2x)$, или $sinx + cos(2x) = 0$.
Применим формулу двойного угла для косинуса: $cos(2x) = 1 - 2sin^2x$.
$sinx + (1 - 2sin^2x) = 0$.
$2sin^2x - sinx - 1 = 0$.
Сделаем замену $t = sinx$, где $|t| \le 1$. Получим квадратное уравнение:
$2t^2 - t - 1 = 0$.
Найдем корни по формуле: $t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$.
$t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$;
$t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$.
Оба значения подходят. Вернемся к переменной $x$.
1) $sinx = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $sinx = -\frac{1}{2} \implies x = (-1)^{m+1}\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$. Эта формула дает две серии корней: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.
На единичной окружности этим решениям соответствуют три точки: $\frac{\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{6}$ (или $\frac{11\pi}{6}$). Эти точки расположены равномерно, с шагом $\frac{2\pi}{3}$. Поэтому все решения можно объединить в одну серию.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $cos5x = sin15x$.
Воспользуемся формулой приведения $cos\alpha = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
Уравнение примет вид: $sin(\frac{\pi}{2} - 5x) = sin15x$.
Равенство $sinA = sinB$ выполняется, если $A = B + 2\pi n$ или $A = \pi - B + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая:
1) $\frac{\pi}{2} - 5x = 15x + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$\frac{\pi}{2} - 2\pi n = 20x$
$x = \frac{\pi}{40} - \frac{\pi n}{10}$. Поскольку $n$ — любое целое, мы можем заменить $-n$ на $k$, чтобы получить более простую запись:
$x = \frac{\pi}{40} + \frac{\pi k}{10}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\pi}{2} - 5x = \pi - 15x + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$
$15x - 5x = \pi - \frac{\pi}{2} + 2\pi m$
$10x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$
$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi m}{5}, m \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии решений являются различными и не могут быть объединены в одну.
Ответ: $x = \frac{\pi}{40} + \frac{\pi k}{10}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi m}{5}, m \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $sin(7\pi + x) = cos(9\pi + 2x)$.
Упростим аргументы, используя формулы приведения.
$sin(7\pi + x) = sin(\pi + x) = -sinx$.
$cos(9\pi + 2x) = cos(\pi + 2x) = -cos(2x)$.
Уравнение принимает вид: $-sinx = -cos(2x)$, что эквивалентно $sinx = cos(2x)$.
Используем формулу двойного угла: $cos(2x) = 1 - 2sin^2x$.
$sinx = 1 - 2sin^2x$.
$2sin^2x + sinx - 1 = 0$.
Сделаем замену $t = sinx$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 + t - 1 = 0$.
Найдем корни: $t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.
$t_1 = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$.
Вернемся к замене:
1) $sinx = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^k\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Это дает серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.
2) $sinx = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Решениям на единичной окружности соответствуют три точки: $\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$). Разница между соседними точками составляет $\frac{2\pi}{3}$. Следовательно, все решения можно объединить.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.