Номер 22.25, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.25, страница 74.

22.25 a) $2\sin^2 x + \cos 5x = 1;$

б) $2\sin^2 3x - 1 = \cos^2 4x - \sin^2 4x.$

а) $2\sin^2x + \cos5x = 1$

Для решения данного уравнения воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени для синуса: $2\sin^2x = 1 - \cos(2x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(1 - \cos(2x)) + \cos5x = 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения, чтобы упростить его:

$\cos5x - \cos(2x) = 0$

Далее применим формулу преобразования разности косинусов в произведение: $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$.

В нашем случае $A=5x$ и $B=2x$.

$-2\sin\left(\frac{5x+2x}{2}\right)\sin\left(\frac{5x-2x}{2}\right) = 0$

$-2\sin\left(\frac{7x}{2}\right)\sin\left(\frac{3x}{2}\right) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух простейших тригонометрических уравнений:

1) $\sin\left(\frac{7x}{2}\right) = 0$

Решением этого уравнения является серия:

$\frac{7x}{2} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (Z — множество целых чисел)

$x = \frac{2\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin\left(\frac{3x}{2}\right) = 0$

Решением этого уравнения является серия:

$\frac{3x}{2} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяя обе серии, получаем итоговое решение.

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{7}, x = \frac{2\pi n}{3}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\sin^23x - 1 = \cos^24x - \sin^24x$

Преобразуем обе части уравнения, используя формулы двойного угла.

Для левой части воспользуемся формулой косинуса двойного угла в виде $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. Отсюда следует, что $2\sin^2\alpha - 1 = -\cos(2\alpha)$.

Положив $\alpha = 3x$, получаем: $2\sin^23x - 1 = -\cos(2 \cdot 3x) = -\cos(6x)$.

Для правой части применим другую формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Положив $\alpha = 4x$, получаем: $\cos^24x - \sin^24x = \cos(2 \cdot 4x) = \cos(8x)$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в более простом виде:

$-\cos(6x) = \cos(8x)$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\cos(8x) + \cos(6x) = 0$

Для решения этого уравнения применим формулу преобразования суммы косинусов в произведение: $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$.

В нашем случае $A=8x$ и $B=6x$.

$2\cos\left(\frac{8x+6x}{2}\right)\cos\left(\frac{8x-6x}{2}\right) = 0$

$2\cos(7x)\cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем совокупность уравнений:

1) $\cos(7x) = 0$

Решением является серия:

$7x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos(x) = 0$

Решением является серия:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Проверим, не является ли одна серия решений подмножеством другой. Представим вторую серию в виде, сопоставимом с первой:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{7\pi}{14} + \frac{14\pi n}{14} = \frac{\pi(7+14n)}{14}$.

Первую серию можно записать как $x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi k}{14} = \frac{\pi(1+2k)}{14}$.

Решения совпадают, если для любого целого $n$ существует такое целое $k$, что $1+2k = 7+14n$.

$2k = 6+14n \implies k = 3+7n$.

Поскольку для любого целого $n$ значение $k$ также будет целым, вторая серия решений ($x = \frac{\pi}{2} + \pi n$) полностью содержится в первой серии ($x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi k}{7}$). Следовательно, в качестве ответа достаточно указать только более общую первую серию.

Ответ: $x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.