Номер 22.21, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.21, страница 74.

Решите уравнение:

22.21 a) $ \cos x + \cos 3x = 0; $

б) $ \sin 12x + \sin 4x = 0; $

в) $ \cos x = \cos 5x; $

г) $ \sin 3x = \sin 17x. $

а)

Дано уравнение $ \cos x + \cos 3x = 0 $.

Для решения используем формулу суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $.

Применив формулу к уравнению, получаем:

$ 2 \cos\frac{3x + x}{2} \cos\frac{3x - x}{2} = 0 $

$ 2 \cos(2x) \cos(x) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \cos x = 0 $

Решением этого уравнения является $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos(2x) = 0 $

Решением этого уравнения является $ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Разделив на 2, получаем $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $; $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

б)

Дано уравнение $ \sin 12x + \sin 4x = 0 $.

Для решения используем формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $.

Применив формулу к уравнению, получаем:

$ 2 \sin\frac{12x + 4x}{2} \cos\frac{12x - 4x}{2} = 0 $

$ 2 \sin(8x) \cos(4x) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \sin(8x) = 0 $

$ 8x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi k}{8} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos(4x) = 0 $

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} = \frac{\pi(1+2n)}{8} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Заметим, что вторая серия решений ($x = \frac{\pi(1+2n)}{8}$) представляет собой нечетные кратные числа $ \frac{\pi}{8} $. Первая серия решений ($x = \frac{\pi k}{8}$) включает в себя все целые кратные (и четные, и нечетные) числа $ \frac{\pi}{8} $. Таким образом, вторая серия решений является подмножеством первой. Следовательно, достаточно записать только первую серию решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z} $.

в)

Дано уравнение $ \cos x = \cos 5x $.

Уравнение вида $ \cos \alpha = \cos \beta $ равносильно совокупности двух уравнений: $ \alpha = \beta + 2\pi k $ и $ \alpha = -\beta + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ \alpha = 5x $ и $ \beta = x $.

1) $ 5x = x + 2\pi k $

$ 4x = 2\pi k $

$ x = \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ 5x = -x + 2\pi n $

$ 6x = 2\pi n $

$ x = \frac{2\pi n}{6} = \frac{\pi n}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Эти две серии решений различны и вместе составляют полное решение уравнения.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $; $ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

г)

Дано уравнение $ \sin 3x = \sin 17x $.

Уравнение вида $ \sin \alpha = \sin \beta $ равносильно совокупности двух уравнений: $ \alpha = \beta + 2\pi k $ и $ \alpha = \pi - \beta + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ \alpha = 17x $ и $ \beta = 3x $.

1) $ 17x = 3x + 2\pi k $

$ 14x = 2\pi k $

$ x = \frac{2\pi k}{14} = \frac{\pi k}{7} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ 17x = \pi - 3x + 2\pi n $

$ 20x = \pi + 2\pi n = \pi(1 + 2n) $

$ x = \frac{\pi(1 + 2n)}{20} = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Эти две серии решений различны и вместе составляют полное решение уравнения.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z} $; $ x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}, n \in \mathbb{Z} $.