Номер 22.15, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.15, страница 73.

Докажите тождество:

22.15 a)

$\frac{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)} = \operatorname{tg} \alpha;$

б) $\frac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)}{\sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta)} = \operatorname{tg} \alpha.$

а) Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов (формулы преобразования суммы в произведение):
$\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$
$\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$
Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби, где $x = \alpha + \beta$ и $y = \alpha - \beta$.
Преобразуем числитель:
$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin\frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2}\cos\frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2} = 2 \sin\frac{2\alpha}{2}\cos\frac{2\beta}{2} = 2 \sin\alpha\cos\beta$.
Преобразуем знаменатель:
$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cos\frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2}\cos\frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2} = 2 \cos\frac{2\alpha}{2}\cos\frac{2\beta}{2} = 2 \cos\alpha\cos\beta$.
Подставим полученные выражения обратно в левую часть исходного равенства:
$\frac{2 \sin\alpha\cos\beta}{2 \cos\alpha\cos\beta}$.
При условии, что $\cos\alpha \neq 0$ и $\cos\beta \neq 0$, мы можем сократить дробь на $2\cos\beta$:
$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$.
Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства второго тождества также преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами разности косинусов и разности синусов:
$\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$
$\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$
Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби.
Для числителя: $A = \alpha - \beta$, $B = \alpha + \beta$.
$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = -2\sin\frac{(\alpha - \beta) + (\alpha + \beta)}{2}\sin\frac{(\alpha - \beta) - (\alpha + \beta)}{2} = -2\sin\frac{2\alpha}{2}\sin\frac{-2\beta}{2} = -2\sin\alpha\sin(-\beta)$.
Поскольку синус — нечетная функция, $\sin(-\beta) = -\sin\beta$. Тогда выражение для числителя примет вид:
$-2\sin\alpha(-\sin\beta) = 2\sin\alpha\sin\beta$.
Для знаменателя: $A = \alpha + \beta$, $B = \alpha - \beta$.
$\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2\cos\frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2}\sin\frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2} = 2\cos\frac{2\alpha}{2}\sin\frac{2\beta}{2} = 2\cos\alpha\sin\beta$.
Подставим полученные выражения обратно в левую часть тождества:
$\frac{2 \sin\alpha\sin\beta}{2 \cos\alpha\sin\beta}$.
При условии, что $\cos\alpha \neq 0$ и $\sin\beta \neq 0$, мы можем сократить дробь на $2\sin\beta$:
$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$.
Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.