Номер 22.17, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.17, страница 73.

22.17 a) $\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta;$

б) $\cos^2(\alpha - \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta.$

a) Докажем тождество $\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = (\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta))(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$

Теперь применим формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:

• $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$
• $\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$

Для первой скобки $(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$ имеем:

$x = \alpha + \beta$, $y = \alpha - \beta$.

$\frac{x+y}{2} = \frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$

$\frac{x-y}{2} = \frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = \frac{2\beta}{2} = \beta$

Следовательно, $\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta$.

Для второй скобки $(\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta))$ имеем те же $x$ и $y$:

$\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\beta\cos\alpha$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$(2\sin\alpha\cos\beta) \cdot (2\sin\beta\cos\alpha) = 4\sin\alpha\cos\alpha\sin\beta\cos\beta$

Сгруппируем множители:

$(2\sin\alpha\cos\alpha) \cdot (2\sin\beta\cos\beta)$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$, получаем:

$\sin(2\alpha)\sin(2\beta)$

Мы показали, что левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta$ доказано.

б) Докажем тождество $\cos^2(\alpha - \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta$.

Преобразуем левую часть равенства, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

$\cos^2(\alpha - \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = (1 - \sin^2(\alpha - \beta)) - (1 - \sin^2(\alpha + \beta))$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$1 - \sin^2(\alpha - \beta) - 1 + \sin^2(\alpha + \beta) = \sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta)$

Полученное выражение является левой частью тождества из пункта a).

Как было доказано выше, $\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta$.

Следовательно, $\cos^2(\alpha - \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\cos^2(\alpha - \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta$ доказано.