Номер 22.22, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.

Тип: Задачник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 2

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.22, страница 74.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№22.22 (с. 74)
Условие. №22.22 (с. 74)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 74, номер 22.22, Условие

22.22 a) $ \sin x + \sin 2x - \sin 3x = 0; $

б) $ \cos 3x - \cos 5x = \sin 4x. $

Решение 1. №22.22 (с. 74)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 74, номер 22.22, Решение 1
Решение 2. №22.22 (с. 74)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 74, номер 22.22, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 74, номер 22.22, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №22.22 (с. 74)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 74, номер 22.22, Решение 3
Решение 5. №22.22 (с. 74)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 74, номер 22.22, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 74, номер 22.22, Решение 5 (продолжение 2)
Решение 6. №22.22 (с. 74)

а) $\sin x + \sin 2x - \sin 3x = 0$

Перегруппируем слагаемые в уравнении для применения тригонометрических формул:

$(\sin x - \sin 3x) + \sin 2x = 0$

Используем формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$ для выражения в скобках:

$\sin x - \sin 3x = 2 \sin\left(\frac{x-3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x+3x}{2}\right) = 2 \sin(-x)\cos(2x)$

Так как синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем:

$2 \sin(-x)\cos(2x) = -2\sin x \cos(2x)$

Подставим результат в исходное уравнение:

$-2\sin x \cos 2x + \sin 2x = 0$

Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$-2\sin x \cos 2x + 2\sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2\sin x$ за скобки:

$2\sin x (\cos x - \cos 2x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1. $\sin x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x - \cos 2x = 0$, или $\cos x = \cos 2x$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$\cos x = 2\cos^2 x - 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\cos x$:

$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Уравнение примет вид $2t^2 - t - 1 = 0$.

Находим корни этого квадратного уравнения: $t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$ и $t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

a) $\cos x = 1$. Решение: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos x = -\frac{1}{2}$. Решение: $x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi m = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединим все найденные решения. Заметим, что серия корней $x = 2\pi k$ является частным случаем серии $x = \pi n$ (при $n=2k$). Следовательно, итоговый ответ можно записать в более компактной форме.

Ответ: $x = \pi n$, $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 3x - \cos 5x = \sin 4x$

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$:

$\cos 3x - \cos 5x = -2 \sin\left(\frac{3x+5x}{2}\right)\sin\left(\frac{3x-5x}{2}\right) = -2 \sin(4x)\sin(-x)$

Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем:

$-2 \sin(4x)(-\sin x) = 2\sin(4x)\sin x$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$2\sin(4x)\sin x = \sin 4x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\sin 4x$ за скобки:

$2\sin(4x)\sin x - \sin 4x = 0$

$\sin 4x (2\sin x - 1) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $\sin 4x = 0$

$4x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $2\sin x - 1 = 0$, или $\sin x = \frac{1}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}$, $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 22.22 расположенного на странице 74 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №22.22 (с. 74), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться