Номер 22.22, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.22, страница 74.
№22.22 (с. 74)
Условие. №22.22 (с. 74)
скриншот условия

22.22 a) $ \sin x + \sin 2x - \sin 3x = 0; $
б) $ \cos 3x - \cos 5x = \sin 4x. $
Решение 1. №22.22 (с. 74)

Решение 2. №22.22 (с. 74)


Решение 3. №22.22 (с. 74)

Решение 5. №22.22 (с. 74)


Решение 6. №22.22 (с. 74)
а) $\sin x + \sin 2x - \sin 3x = 0$
Перегруппируем слагаемые в уравнении для применения тригонометрических формул:
$(\sin x - \sin 3x) + \sin 2x = 0$
Используем формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$ для выражения в скобках:
$\sin x - \sin 3x = 2 \sin\left(\frac{x-3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x+3x}{2}\right) = 2 \sin(-x)\cos(2x)$
Так как синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем:
$2 \sin(-x)\cos(2x) = -2\sin x \cos(2x)$
Подставим результат в исходное уравнение:
$-2\sin x \cos 2x + \sin 2x = 0$
Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$-2\sin x \cos 2x + 2\sin x \cos x = 0$
Вынесем общий множитель $2\sin x$ за скобки:
$2\sin x (\cos x - \cos 2x) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
1. $\sin x = 0$
Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\cos x - \cos 2x = 0$, или $\cos x = \cos 2x$
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:
$\cos x = 2\cos^2 x - 1$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\cos x$:
$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Уравнение примет вид $2t^2 - t - 1 = 0$.
Находим корни этого квадратного уравнения: $t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$ и $t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$.
Возвращаемся к переменной $x$:
a) $\cos x = 1$. Решение: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
б) $\cos x = -\frac{1}{2}$. Решение: $x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi m = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Объединим все найденные решения. Заметим, что серия корней $x = 2\pi k$ является частным случаем серии $x = \pi n$ (при $n=2k$). Следовательно, итоговый ответ можно записать в более компактной форме.
Ответ: $x = \pi n$, $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.
б) $\cos 3x - \cos 5x = \sin 4x$
Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$:
$\cos 3x - \cos 5x = -2 \sin\left(\frac{3x+5x}{2}\right)\sin\left(\frac{3x-5x}{2}\right) = -2 \sin(4x)\sin(-x)$
Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем:
$-2 \sin(4x)(-\sin x) = 2\sin(4x)\sin x$
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$2\sin(4x)\sin x = \sin 4x$
Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\sin 4x$ за скобки:
$2\sin(4x)\sin x - \sin 4x = 0$
$\sin 4x (2\sin x - 1) = 0$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1. $\sin 4x = 0$
$4x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $2\sin x - 1 = 0$, или $\sin x = \frac{1}{2}$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяем решения из обоих случаев.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}$, $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 22.22 расположенного на странице 74 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №22.22 (с. 74), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.