Номер 22.22, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения - номер 22.22, страница 74.

Условие.

22.22 a) $ \sin x + \sin 2x - \sin 3x = 0; $

б) $ \cos 3x - \cos 5x = \sin 4x. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $\sin x + \sin 2x - \sin 3x = 0$

Перегруппируем слагаемые в уравнении для применения тригонометрических формул:

$(\sin x - \sin 3x) + \sin 2x = 0$

Используем формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$ для выражения в скобках:

$\sin x - \sin 3x = 2 \sin\left(\frac{x-3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x+3x}{2}\right) = 2 \sin(-x)\cos(2x)$

Так как синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем:

$2 \sin(-x)\cos(2x) = -2\sin x \cos(2x)$

Подставим результат в исходное уравнение:

$-2\sin x \cos 2x + \sin 2x = 0$

Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$-2\sin x \cos 2x + 2\sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2\sin x$ за скобки:

$2\sin x (\cos x - \cos 2x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1. $\sin x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x - \cos 2x = 0$, или $\cos x = \cos 2x$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$\cos x = 2\cos^2 x - 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\cos x$:

$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Уравнение примет вид $2t^2 - t - 1 = 0$.

Находим корни этого квадратного уравнения: $t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$ и $t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

a) $\cos x = 1$. Решение: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos x = -\frac{1}{2}$. Решение: $x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi m = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединим все найденные решения. Заметим, что серия корней $x = 2\pi k$ является частным случаем серии $x = \pi n$ (при $n=2k$). Следовательно, итоговый ответ можно записать в более компактной форме.

Ответ: $x = \pi n$, $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 3x - \cos 5x = \sin 4x$

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$:

$\cos 3x - \cos 5x = -2 \sin\left(\frac{3x+5x}{2}\right)\sin\left(\frac{3x-5x}{2}\right) = -2 \sin(4x)\sin(-x)$

Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем:

$-2 \sin(4x)(-\sin x) = 2\sin(4x)\sin x$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$2\sin(4x)\sin x = \sin 4x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\sin 4x$ за скобки:

$2\sin(4x)\sin x - \sin 4x = 0$

$\sin 4x (2\sin x - 1) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $\sin 4x = 0$

$4x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $2\sin x - 1 = 0$, или $\sin x = \frac{1}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}$, $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.